北京大学2023年直博生入学考试试题。
考试科目：数学分析（满分150分）
1.（25分）中的集合称为紧集，如果对于的开覆盖，都存在中的有限个元素也覆盖。证明：为紧集的充分必要条件是是中的有界闭集。
2.（25分）表述和证明多元函数带（拉格朗日）余项的二阶（泰勒）展开公式（余项为二阶）.
3.（20分）计算积分。
4.（20分）假定，问是否存在连续可导的映射，，使得的（雅可比）矩阵的秩处处为，而，为什么？这里0表示的原点。
5.（20分）设是实轴上一列一致有界的连续函数，满足对于任意闭区间，成立，证明：对于实轴中的任意闭区间，以及上绝对可积的函数，恒有。
6.（20分）设和都是区域上连续可导的函数，满足映射的（雅可比）矩阵的秩在上处处为1，而函数的梯度向量在上处处不为零，假定在点，.证明：
存在点的领域，使得在上，函数方程组与函数方程是同解方程。问在上这两组方程是否也是同解方程，为什么？
7.（20分）设和都是区间上阶可导的函数，如果在点，成立，，，则称和在处阶相切。现设和在（a,b）中互不相同的点处分别阶相切，而。证明：对于任意，存在，使得。
考试科目：高等代数（满分100分）
1.（25分）设是数域上的有限维线性空间，且上线性变换的某个化零多项式可分解为一次因式幂的乘积的形式：，（当，有），证明：若存在，使得则可对角化；是幂等变换。
2.（25分）设a,b为n阶方阵，且与可交换，证明。
3.（25分）设为数域上n维线性空间，为的真子空间（即非零、非v）.证明：
1）存在v中的元素不属于任何一个。
2）存在v的一组基满足，对所有。
3）u中v的真子空间，令，则中含有无穷多个元素。
4.（25分）设v为n维欧氏空间，是正交变换。
(1)证明：v可以分解为一些1维或2维得两两正交的子空间的直和（即，其中为的维数为1或2的不变子空间，且若则必有彼此正交）.
2)设为v的两组标准正交基，且。证明，这里表示向量在欧氏空间中的夹角。
3)确定二维欧氏空间上的第一类正交矩阵及第二类正交矩阵的一般形式，并由此给出n维欧氏空间上正交变换的相似标准型（即某种简化的表示形式）
考试科目：几何学（满分50分）
1.（15分）求与三直线。
都相交的直线所产生的曲面的方程。
2.（20分）设给出的仿射变换为。
求3个互相正交的向量，使得在此变换下，它们仍变为3个互相正交的向量；并将所给的仿射变换表示成一个正交变换和分别对3个互相正交的方向施行的伸缩变换的乘积。
3.（15分）证明：分别属于双曲抛物面。
上的两族互相垂直的直母线交点的轨迹是曲面（1）与平面。
的交线，为一条双曲线。
2023年北大自主考试试题
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2011年入网单位安全考试卷。单位 姓名 成绩 一 填空题部分 每空1分，计40分 1 电气工作人员对本规程应 考试一次，因故间断电气工作连续三个月以上者，必须重新温习本规程，并经考试合格后，方能恢复工作。2 在居民区及交通道路附近挖的基坑，应设坑盖或 加挂警告标牌，夜间挂红灯。3 凡在离地面 坠落...