2024年普通高等学校招生全国统一考试。
文科数学（宁夏、 海南卷）全解全析。
第ⅰ卷。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
答案】：a分析】：由，可得。
2．已知命题，，则（ ）
答案】：c分析】：是对的否定，故有：
3．函数在区间的简图是（ ）
答案】：a分析】：排除ｂ、ｄ
排除ｃ。也可由五点法作图验证。
4．已知平面向量，则向量（ ）
答案】：d分析】：
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
答案】：c分析】：由程序知，
6．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）
答案】：b分析】：曲线的顶点是，则：由。
成等比数列知，
7．已知抛物线的焦点为，点，
在抛物线上，且，则有（ ）
答案】：c分析】：由抛物线定义，即：．
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
答案】：b分析】：如图，
9．若，则的值为（ ）
答案】：c分析】：
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
答案】：d分析】：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程。
为则切线与坐标轴交点为所以：
11．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）
答案】：d分析】：如图，
12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表。
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
答案】：b分析】：
第ⅱ卷。本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．
答案】：3分析】：如图，过双曲线的顶点a、焦点f分别。
向其渐近线作垂线，垂足分别为b、c，则：
14．设函数为偶函数，则 ．
答案】：-1
分析】：15．是虚数单位， ．用的形式表示，）
答案】：分析】：
16．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差 ．
答案】：分析】：
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在中，．
由正弦定理得．
所以．在中，．
18．（本小题满分12分）
如图，为空间四点．在中，．
等边三角形以为轴运动．
ⅰ）当平面平面时，求；
ⅱ）当转动时，是否总有？
证明你的结论．
解：ⅰ）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知。
由已知可得，在中，．
ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：ⅰ）当在平面内时，因为，所以都**段的垂直平分线上，即．
ⅱ）当不在平面内时，由（ⅰ）知．又因，所以．
又为相交直线，所以平面，由平面，得．
综上所述，总有．
19．（本小题满分12分）设函数。
ⅰ）讨论的单调性；
ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
解：的定义域为．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
ⅱ）由（ⅰ）知在区间的最小值为．
又．所以在区间的最大值为．
20．（本小题满分12分）设有关于的一元二次方程．
ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
ⅰ）基本事件共12个：
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求的概率为．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点。
且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．
ⅰ）求的取值范围；
ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；
如果不存在，请说明理由．
解：ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过。
且斜率为的直线方程为．
代入圆方程得，整理得． ①
直线与圆交于两个不同的点等价于。
解得，即的取值范围为．
ⅱ）设，则，由方程①，②
又． ③而．
所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．
由（ⅰ）知，故没有符合题意的常数．
22．请考生在ａ、ｂ两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲。
如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与。
交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
ⅰ）证明四点共圆；
ⅱ）求的大小．
ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
ⅱ）解：由（ⅰ）得四点共圆，所以．
由（ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．22．ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程。
和的极坐标方程分别为．
ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
ⅰ），由得．
所以．即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
ⅱ）由。解得．
即，交于点和．
过交点的直线的直角坐标方程为．
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