2011中国数学奥林匹克试题解答。
1. 设()是实数，证明。
其中，，，表示不超过x的最大整数．（姚一隽提供）
证明若(k为正整数)，则。
从而。若(k为正整数)，则对于循环排列的个数，必有连续三项递增或递减(因为，所以不可能对于每一个i，都有与异号)，不妨设为，则有。
从而。这就将问题化为了2k个数的情形．我们有。即。证毕．
2．如图，设d是锐角三角形abc外接圆上弧的中点，点x在弧上，e是弧的中点，s是弧上一点，直线sd与bc相交于点r，se与ax相交于点t．证明： 若。
rt∥de，则三角形abc的内心在直线rt上．（熊斌提供）
证明连接ad，设ad与rt相交于点i．因为d是弧的中点，故ai为的角平分线．连接as，si，则由rt∥de知：
故a，t，i，s四点共圆，记此圆为．
连接ce，设ce与rt相交于点j，连接sc，则。
于是s，j，r，c四点共圆，记此圆为．
设，除点s外另一个交点为k，下证k为aj与ci的交点．
设与aj（除点a外）的交点为，由于e是弧的中点，所以。
故s，，j，r四点共圆，即点在上．同理，设与ci（除点c外）另一个交点为，则点在上．所以，点与重合，且为aj与ci的交点，即k为aj与ci的交点．
由于，且。所以a，i，j，c四点共圆，因而．
又由c，k，j，r四点共圆知：，所以。
故i为三角形abc的内心．
设是一个有限实数集，是的非空子集，满足下列条件：
1)中所有元素之和为0;
2) 对任意，都有．
证明： 存在，使得。
这里表示有限集合x的元素个数．（瞿振华提供）
证明设则由条件(1)知考虑每个中的最小数，并设中恰有个集合的最小数为则我们有。
且由条件(2)知。
对共有个集合，其最小数故这些集合的并集包含在中，元素个数不超过s．
下证存在使得用反证法，设对于都有。
由abel 变换可知(注意)
矛盾．对于这一s，取中最小数的那些集合，记为．则由上述的结果可知，这些子集共有个，且它们的并集的元素个数不超过s，即。
4．设是给定的正整数，集合．对非空的有限实数集合和，求的最小值，其中恰好属于和中的一个}，表示有限集合x的元素个数．（冷岗松提供）
解所求的最小值是．
首先，取可知的确可以取到．
下面我们证明，．记显然有。
我们只要证明。
i) ii)
先证(i)．实际上，若则于是1不可能是c中元素，即所以(i)成立．
再证(ii)．若则结论已经成立．若设的元素中最大的一个是则。
另一方面，对要么(这时)，要么(这时即)，所以。
由(1)，(2)即得(ii)．
综上可知，(i)，(ii)成立，知所以最小值是n+1．
5．给定整数，对任意满足。
的非负实数，求的最大值．（朱华伟，付云皓提供）
解所求最大值为．
由齐次性，不妨假设首先，当。
时， 故。下证对任意满足的，都有。
由于分母是正数，故上式等价于。
即。由对称性，不妨设是中最小的一个，则有。
证毕．6．求证： 对于任意给定的正整数，总存在无穷多组互素的正整数，使得。
陈永高提供）
证明如果，则结论成立．下设，由于。
故只要证明存在无穷多组互素的正整数使得。
令，我们只要证明存在无穷多个素数p及正整数，使得。
由费尔马小定理知： 当，时，有。
因此只要证明存在无穷多个素数p及正整数，使得。
假设这样的素数只有有限个，记为(由于，这样的素数必存在)．设。
为非负整数2)
取设。为非负整数3)
若则由(3)及可知，故，从而由(2)知。
若 n，则 m，故．由欧拉定理知(注意为的约数)
由于，故由上式知．因而这样。
与矛盾．所以存在无穷多个素数p及正整数，使得证毕．
2023年小学数学奥林匹克预赛答案
9 共222个 预赛a 又256分之 人 预赛b 决赛a 又1024分之 小于 决赛b 333 五 又5分之 2000年小学数学奥林匹克参 预赛a 预赛b 星期一 时8又29分之8分 决赛a 又8分之 8 决赛b 1999年小学数学奥林匹克参 预赛a 又280分之 平方厘米 比 或 上午12时。预赛...
2023年小学数学奥林匹克竞赛
六年级成绩。市区 北辰区。一等奖。90分以上，共65人 武清区。一等奖。武清区大碱厂镇于连灏大碱厂镇中学。二等奖。武清祖凤美上马台初中。武清区河西务镇高尚首驿小学。三等奖。武清区大良镇崔然双树中学 武清区河北屯镇房奇钰口哨小学。武清区陈咀镇杨璐陈咀小学 武清区汉沽港镇梁国利汉沽港四街小学 武清区杨村...
2023年小学数学奥林匹克竞赛
六年级成绩。市区 北辰区。一等奖。90分以上，共65人 武清区。一等奖。武清区大碱厂镇于连灏大碱厂镇中学。二等奖。武清祖凤美上马台初中。武清区河西务镇高尚首驿小学。三等奖。武清区大良镇崔然双树中学 武清区河北屯镇房奇钰口哨小学。武清区陈咀镇杨璐陈咀小学 武清区汉沽港镇梁国利汉沽港四街小学 武清区杨村...