课程设计。
2023年07月20日。
1.1水手、猴子和椰子问题。
算法分析：设椰子起初的数目为，第一至第五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为，，，再设最后每个人分得x个椰子，由题意得：
利用逆向递推方法求解：
n=input('n=')
for x=1:n
p=5*x+1;
for k=1:5
p=5*p/4+1;
endif p==fix(p)
break
endend
disp([x,p])
执行**后得： n= 1023 15621 （输入n=1000000）
即最后每个人分得1023个椰子，椰子总数为15621
1.2当时，选择稳定的算法计算积分。由。得
由上式可知求时，的误差的影响被缩小了。n=100时的近似值为0。
matlab **为。
fprintf('稳定算法：')
y0=0;n=100;
plot(n,y0,'r*')
hold on
fprintf('y[100]=%10.6f',y0);
while(1)
y1=1/10*[(1-exp(-n))/n-y0];
fprintf('y[%10.0f]=%10.6f',n-1,y1);plot(n-1,y1,'r*')
if(n<=1) break;end
y0=y1;n=n-1;
if mod(n,3)==0,fprintf(''),end,end
具体值已省略)
编程实现得下图。
由图可知，该算法是稳定的。
1.3绘制静态和动态的koch分形曲线。
koch曲线程序。
function koch(a1,b1,a2,b2,n)
koch(0,0,9,0,3)
a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标，n为迭代次数。
例如a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3;
第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组a、b中。
a,b]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2);
for i=1:n
for j=1:length(a)/5;
w=sub_koch2(a(1+5*(j-1):5*j),b(1+5*(j-1):5*j));
for k=1:4
[aa(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),bb(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)]=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4));
end end
a=aa;b=bb;
endplot(a,b)
hold on
axis equal
由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组a,b中。
function [a,b]=sub_koch1(ax,ay,bx,by)
cx=ax+(bx-ax)/3;
cy=ay+(by-ay)/3;
ex=bx-(bx-ax)/3;
ey=by-(by-ay)/3;
l=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2);
alpha=atan((ey-cy)./ex-cx));
if (ex-cx)<0
alpha=alpha+pi;
enddx=cx+cos(alpha+pi/3)*l;
dy=cy+sin(alpha+pi/3)*l;
a=[ax,cx,dx,ex,bx];
b=[ay,cy,dy,ey,by];
把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标a,b顺次划分为四组，分别对应四条折线段中。
每条线段两端点的坐标，并依次分别存储在4*4阶矩阵k中，k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标。
function w=sub_koch2(a,b)
a11=a(1);b11=b(1);
a12=a(2);b12=b(2);
a21=a(2);b21=b(2);
a22=a(3);b22=b(3);
a31=a(3);b31=b(3);
a32=a(4);b32=b(4);
a41=a(4);b41=b(4);
a42=a(5);b42=b(5);
w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42];
调用函数得到下图。
n=5;i=0;while ifigure(i+1);koch(0,0,3,0,i)
i=i+1;pause(1)
end 将pause(1)去掉可得静态图。
2.1小行星轨道问题。
为了确定方程中的5个待定系数，需要将上述5个点的坐标代入上面的方程，得：
将这一包含5个未知数的线性方程组，写成矩阵的形式。
1） 求解这一线性方程组，即可得到曲线方程的系数。
x0=[53605 58460 62859 66662 68894];
y0=[6062 11179 16954 23492 68894];
a=zeros(5);x0(1);
for i=1:5
a(i,1)=x0(i)^2;a(i,2)=2*x0(i)*y0(i);a(i,3)=y0(i)^2;a(i,4)=2*x0(i);a(i,5)=2*y0(i);
end;format long g;a a=
b=[-1 -1 -1 -1 -1]';format long g;x=a\b
x =-8.06820280371841e-011
-7.63620099622306e-011
-3.0801152978055e-010
-8.89025159419867e-006
2.02829368401655e-005
(2)用lu分解法解可得。
format long g;
a = 2873496025 649907020 36747844 107210 12124;
b=[-1 -1 -1 -1 -1]';
l,u,flag ]=lu_decom(a),format long g;x=u\(l\b)
flag =okx =
-8.06820280370254e-011
-7.63620099622621e-011
-3.08011529780421e-010
-8.89025159420231e-006
2.02829368401615e-005
jacobi迭代法：
jacobic(a)
因为谱半径不小于1，所以jacobi迭代序列发散，谱半径srh和b的所有特征值h如下：srh =
ans =
gsc(a)
因为谱半径不小于1，所以gauss-seidel迭代序列发散，谱半径srh和b的所有特征值h如下：srh =
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