矩阵与数值分析大作业。
课程名称： 矩阵与数值分析
任课教师： xxx（副教授）
姓名xxx学号xxxx
班级： xxxxx
学院： 电信与电气工程学部
交作业时间：2023年 12月21日。
2011级工科硕士研究生。
矩阵与数值分析》课程数值实验题目。
一、 对于数列，有如下两种生成方式给出利用上述两种递推公式生成的序列的第50项。
1、 首项为，递推公式为；
matlab程序：
function wyc11
format long
a=1;for i=1:49
1/3*a;enda
结果：a = 4.178866707295604e-024
2、前两项为，递推公式为；
matlab程序：
function wyc12
format long
a=zeros(1,50);
a(1)=1;
a(2)=1/3;
for i=1:48
a(i+2)=(10/3).*a(i+1)-a(i);
enda(50)
结果：a = 2.060436086367324e+006
经过程序发现第二种迭代过程结果偏离正常预期结果，通过观察发现当迭代到第18项左右时，由于出现了小数减去小数的状况进而造成了误差，进而可以得出这种迭代方法不可行。
二、 利用迭代格式。
及aitken加速后的新迭代格式求方程在内的根。
首先通过普通的迭代格式求求方程在内的根的matlab程序：
function wyc2n
c=2*10^(-6);
x=1;x1=0;
while c>10^(-6)
x1=sqrt(10/(x+4));
if abs(x1-x)<10^(-6)
c=abs(x1-x);
end x=x1; endx
程序结果为：
x = 1.36522998713958
aitken加速后的新迭代格式求方程在内的根的matlab程序：
function wyc2a
format long
c=2*10^(-6);
x=1;x1=0;
f=inline('sqrt(10/(x+4))'x');
while c>10^(-6)
x1=f(f(x))-f(f(x))-f(x))^2)/(f(f(x))-2*f(x)+x);
if abs(x1-x)<10^(-6)
c=abs(x1-x);
endx=x1;endx
程序结果为：
x =1.36523001341410，更加的高效。
三、解线性方程组。
1．分别jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法求解线性方程组。
迭代法计算停止的条件为：．
jacobi迭代法matlab程序：
function wyc31j
format long
d=diag([6,5,8,7]);
lu=[0,-2,-1,2;
b=inv(d)*lu;
b=[4;7;-1;0;];
f=inv(d)*b;
x=[0;0;0;0;];
x1=[0;0;0;0;];
c=2*10^(-6);
while c>10^(-6)
x1=b*x+f;
for i=1:3
if abs(x1(i)-x(i))<10^(-6)
c=abs(x1(i)-x(i));
endend
x=x1;end
x程序结果为：
x=[0.05205578320797
gauss-seidel迭代法matlab程序。
function wyc31gs
format long
d=diag([6,5,8,7]);
l=[0,0,0,0;
u=[0,-2,-1,2;
b=[4;7;-1;0;];
b=inv(d-l)*u;
f=inv(d-l)*b;
x=[0;0;0;0;];
x1=[0;0;0;0;];
c=2*10^(-6);
while c>10^(-6)
x1=b*x+f;
for i=1:3
if abs(x1(i)-x(i))<10^(-6)
c=abs(x1(i)-x(i));
endend
x=x1; endx
程序结果为：
a=[0.05204946628111
gauss-seidel迭代法对已经计算出的信息加以充分利用，可以对jacobi迭代法进行加速提高。
2. 用gauss列主元消去法、qr方法求解如下方程组：
用gauss列主元消去法求解方程matlab 程序：
function wyc32g
a1=[2,2,1,2;
b=[1;2;1;0];
n,m]=size(a1);
x=zeros(n,1);
a=[a1,b];
for k=1:n-1
for p=k+1:n
if abs(a(p,k))>abs(a(k,k))
for j=k:n+1
t=a(k,j);
a(k,j)=a(p,j);
a(p,j)=t;
endend
endfor i=k+1:n
l=-a(i,k)/a(k,k);
for j=k+1:n+1
a(i,j)= a(i,j)+l* a(k,j);
endend
endx(n)=a(n,n+1)/a(n,n);
for i=n-1:-1:1
s=0;for j=i+1:n
s=s+a(i,j)*x(j);
endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i);endx
程序结果为：
x=[ 1.54166666666667
用qr方法求解方程matlab 程序：
function wyc32qr
format long
a=[2,2,1,2;
b=[1;2;1;0];
n,m]=size(a);
x=zeros(n,1);
q=zeros(m,n);
r=zeros(m,n);
q,r]=qr(a);
b2=inv(q)*b;
a2=[r,b2];
x(n)=a2(n,n+1)/a2(n,n);
for i=n-1:-1:1
s=0;for j=i+1:n
s=s+a2(i,j)*x(j);
endx(i)=(a2(i,n+1)-s)/a2(i,i);endx
程序结果为：
x = 1.54166666666666
四、已知一组数据点，编写一程序求解三次样条插值函数满足。
并针对下面一组具体实验数据。
求解，其中边界条件为。
matlab程序：
function wyc4
x=[0.25;0.3;0.39;0.45;0.53;];
y=[0.5000;0.5477;0.6245;0.6708;0.7280;];
s21=0;
s25=0;
n,n1]=size(x);
lamb=zeros(n,1);
mu=zeros(n,1);
h=zeros(n,1);
g=zeros(n,1);
m=zeros(n,1);
s=zeros(4,1);
syms p
for i=1:n-1
h(i)=x(i+1)-x(i);
endfor j=2:n-1
lamb(j)=h(j)/(h(j-1)+h(j));
mu(j)=h(j-1)/(h(j-1)+h(j));
endlamb(n)=1;
mu(1)=1;
for k=2:n-1
g(k)=3*(mu(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+lamb(k)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1));
enda=zeros(n,n);
for i=1:n-1
a(i,i)=2;
a(i,i+1)=mu(i);
a(i+1,i)=lamb(i+1);
enda(n,n)=2;
g(1)=3*(y(2)-y(1))/h(1)-h(1)*s21/2;
g(n)=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1)+h(n-1)*s25/2;
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