一、问题及要求。
一维对流扩散问题的有限体积法数值模拟求解。
控制方程：其中，， 1；
边界条件：
采用有限体积法计算在之间的分布；并与严密解通过作图做出比较。严密解：
二、有限体积法的推导。
首先，对于该问题，采用控制容积积分，可得：
由奥式公式可得：
即：以上公式的物理量是针对节点所在单元网格界面而言的，现在采用中心差分法将界面参数值，用相邻节点处的对应物理量表示：
为了简洁，可令。
由于是一维问题，所以，方程中的面积项可以约分掉。将所有离散结果代入上述积分后的方程中，并按节点处的物理量值来整理，可得：
即对一般节点（相对于第一个节点和第个节点之外的节点），方程的形式如下：
式中，第一个节点和第个节点由于边界划分不同于其他节点，并牵涉到边界条件，考虑在上述方程中引入一项。这样，所有节点的方程形式可以统一为：
以上所述，是对一般一维对流扩散问题的通用离散方式，在本题中，由于题设条件的特殊性，可以得到以下的一些简化：
1.由于，假设离散点的个数为，则可以得到，；
2.由于=1，所以；
3.由题目知，，则第个节点的坐标为，第个节点的西侧，东侧界面上的值则可写出：。
基于以上3条，就可以得到本题中第节点的方程。此时，有：
代入，的表达式，可得。
对于一般节点，以上三个系数就已经确定完整方程，也就是说，在通用形式中的项为零。接下来，考虑首尾两个节点。
对于节点1，我们知道，将以上条件代入离散方程，并整理，可得。
则可得到在节点1处，方程中的各参数值为：
同理，我们可以列出第个节点处的各个方程参数：
代入，可得离散方为。
各方程系数可以确定。
至此，所有节点的方程已经确定，我们得到一组对三角形式的方程组，可以通过tdma算法来进行方程的求解。
三、tdma算法的推导。
tdma算法所针对的方程组的通用形式为。
而节点是相邻的，故将离散方程组进行简单变形，就可以清楚看到各个系数之间的对应关系。
为了便于查看，将系数整理成**，如表1，表2所示：
表1：离散方程中的各个方程参数。
tdma算法求解离散方程组主要有向前消元和向后回代两个步骤，回代过程的通式为：
式中，表2 tdma解离散方程组中相关方程参数。
由边界条件可知，都是可以求出的，然后反复利用上边公式，即可求出所有方程的相关参数，现将其列表如表2。
在本题中，（因为）是可以计算出来的，如此即可回代，逐次求出所有方程的解。
四、利用fortran编程求解方程组。
利用fortran语句对tdma算法中的回代过程进行编程，在编程中取节点数，程序**如下。
program tdma
程序目的：用tdma算法来求解一维稳态对流扩散问题离散后的方程组。
implicit none强制显式声明变量，方便程序维护和修改。
变量词典。integer::i节点下标，也是方程组中方程的序号，所有数组的下标变量。
real::n=100.0节点个数在方程组中系数中会出现，为避免混合类型运算，定义为实型。
real,dimension(100)::phy待求解物理量构成的数组。
real,dimension(100)::a
real,dimension(100)::b
real,dimension(100)::a_
real,dimension(100)::c
real,dimension(100)::c_
real,dimension(100)::d声明方程组中各系数，中间系数所构成的数组。
根据边界条件，求出方程组中的各个系数。
b(1)=0.0
d(1)=3.0*n+20.0/n
a(1)=n-20.0/n
c(1)=2.0*n
a_(1)=a(1)/d(1)
c_(1)=c(1)/d(1第一个节点牵涉到边界条件，单独求解相关系数，并以其来递推其余节点的方程系数。
a(100)=0.0
b(100)=n+20.0*(n-1)/n
d(100)=3.0*n+20.0/n
c(100)=0.0最后一个节点相应边界条件。
do i=2,99
b(i)=n+20.0*(i-1)/n
d(i)=2.0*n+20.0/n
a(i)=n-20.0*i/n
a_(i)=a(i)/(d(i)-b(i)*a_(i-1))
c_(i)=(b(i)*c_(i-1)+c(i))/d(i)-b(i)*a_(i-1))
end do
a_(100)=a(100)/(d(100)-a_(99)*b(100))
c_(100)=(b(100)*c_(99)+c(100))/d(100)-b(100)*a_(99)) a_(100),c_(100)中要用到99节点相关信息，故在最后给出。
write方程组中的关键系数a_(i)和c_(i)'
write节点数 a_(i) c_(i)'
do i=1,100
write(*,i,a_(i),c_(i)
end do检验方程系数是否合理。
方程组已经确定，用tdma的回代过程求解方程组。
phy(100)=c_(100回代方程组的初始解。
do i=1,99
phy(100-i)=a_(100-i)*phy(100-i+1)+c_(100-i)
end do
writetdma求得的方程组'
do i=1,100
write(*,phy(i)
end do
open(12,file=''
do i=1,100
write(12,*)phy(i导出计算结果到文件中。
end do
close(12)
read没有实际意义，只是为了保证运行时，dos窗口能停留。
end program tdma
将以上**编译运行后，即可得到离散方程自的解。以下是程序运行结果的部分截图（图1所示）：
图1 fortran程序运行结果截图。
五、离散结果的图像化以及与严密解的对比：
在前面**中，已经将方程的结果导入到文件之中，利用matlab即可做出对应的离散解图形，如图2所示。
图2 离散解的图像。
为了和严密解做出对比，利用matlab做出严密解的图像，相应**截图如图3：
图3 matlab求严密解的**。
求得的严密解的图像如图4所示：
图4 严密解的图像。
大致对比，两者的图像基本吻合，为了进一步说明离散结果的正确性，将两幅图做在同一坐标系之下，如图5所示。
图5 严密解和离散解的结果对比。
对比之下，可以得出结论：在节点数取100的时候，离散结果已经和严密解吻合程度相当高了，说明了本次利用有限体积法求解结果的正确性。通过此次完成大作业，我第一次接触并使用了fortran语句之后，便对它产生了浓厚的兴趣，觉得它是所有语句中最人性化的编程语言，我想在以后的学习工作中，我还会对它做更深入的研究学习的。
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