高数上册复习要点。
一 . 求极限。
求极限应该掌握的方法有: 洛必达法则、等价无穷小代换、无穷小乘以有界量应为无穷小量(注意,若用此性质求极限时应该怎么写)、无穷大的倒数为无穷小、利用导数的定义求极限、利用夹逼准则求数列极限、利用定积分的定义求极限,利用泰勒展开式求极限了解一下,熟记常用的等价无穷小代换、常用函数的麦克劳林展开式。
注意:a. 若用洛必达法则求数列极限时,应注意先把数列的极限转化为函数的极限,然后在利用数列极限和函数极限的关系做,例如:
求时,首先应转化为,求此函数的极限,可得=。
b.特别注意型的极限,求此极限有两种方法:
1)利用重要极限,如: =e;
2)把所求的极限转化为:;
c. 注意(此极限不存在),此极限当时,极限为,当,极限为0;
d.利用左右极限的大小关系判断极限是否存在,若左极限=右极限=m,则极限值存在且为m;若左极限≠右极限,或其中有一个极限为,则此极限不存在。
e.注意,此极限值和、及有关。
二。 求导数:
1.抽象复合函数求导法则是:由外到内,逐步求导例如:设具有二阶导数,求。
2.隐函数方程所确定函数的求导(求导方法:方程两边直接对求导,把看成的函数)。
3. 由参数方程所确定的函数求导,注意以下两个问题:
a. 在求二阶导数时,因一阶导数是参数的函数,而我们是求函数对的二阶导数,因此求二阶导数时,应先求一阶导数对的导数再乘以对的一阶导数,例如:
设,求及,则。
b. 有时是求及,而不是求及,思路和求及一样,唯一不同的是的自变量是而非,考试时应该看清题目,
4.求分段函数在分段点处的导数时必须利用导数的定义,会灵活运用导数的三个等价定义,5.掌握可导、可微与连续间的关系,会讨论分段函数在分断点的连续性和可导性。
分段函数在分断点连续的充要条件为,注意两个等式缺一不可。若函数是以极限形式给出的,应先求极限,再讨论。
6.掌握变上下限积分函数的求导及求极限问题,熟记变上下限积分函数的求导公式,求导时注意:
a.求导时是把所有的与积分变量有关的进行替换,和积分变量无关的不能动,例如:
b.,前面要加一负号。
c. 如下类型的变限积分求导时,首先应做变量代换把换到积分的上下限中去,切不可直接求导,例如:
设是连续函数,,求,求导数时,应先把变形,,然后再求导。
7.会求曲线在某点的切线方程。
8.熟记常用函数的高阶导数公式,如,等,并会用常用函数的高阶导数公式求函数的高阶导数。
9.对于幂指函数、连乘连除函数,求导用对数求导法,会求分段函数的导数。
10.会求函数在某点的微分,,注意不能少。
11.注意以下记号的含义:
a.—表示在出的函数值,即。
b.—表示求由和构成的复合函数关于的一阶导数,即。
c.的含义和b一样,表示求由和构成的复合函数关于的一阶导数。
三。求积分:
1.掌握不定积分原函数的定义及不定积分常用的公式见练习册70页。
2.掌握不定积分和定积分的凑微分法、第。
一、第二换元积分法、分部积分法,对于定积分的换元积分法,一定要注意换元的同时,必须换限,且是上对上,下对下。常见的题型特点仔细分析练习册74-84页。
3.熟记定积分常用的公式,当遇到积分区间是对称区间时,一定要先考虑“偶倍奇零”的性质,当定积分的被积函数含有绝对值时,注意去掉绝对值时,一定要考虑被积函数的正负。
4.对于广义积分,注意可以用定积分的方法,如分部积分法、广义牛顿-莱布尼茨公式等来计算,另外,对于广义积分,还应掌握如下类型题目的计算:,求。
5.对于变限积分函数,应该掌握如下类型题目的计算。
设,,写出在上的表达式。
6.对于定积分的其它问题,应掌握上课讲的题型。
四。证明不等式:
证明不等式常用的方法有:
a.利用函数的单调性证明不等式,注意有时需要把所证明的不等式先变形,然后再设辅助函数。
b.利用函数的最值构造函数证明不等式。
c.利用拉格郎日中值定理证明不等式。
五。证明方程根的存在性问题:
a.讨论方程根的唯一性问题,常用的方法是闭区间上连续函数的零点定理。
及罗尔中值定理(用此定理时一般是反正法)。
b.方程在某区间内至少有一个(或个)实根的证明,常用的方法是罗尔定理。
c.方程在给定区间上几个实根的证明,用上课讲过的方法。
六。 有关中值问题的证明;
七。其它应该掌握的问题。
1. 函数的极值、最值的求法,极值的定义、必要条件,函数在某点取极值的第。
一、第二充分条件,拐点的定义,曲线凹凸性的判定。
2.无穷小阶的比较定义,尤其是等价无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小的定义。
3.定积分的几何应用:
a.求平面图形的面积,注意,若平面图形是曲边梯形,则用矩形的面积代替曲边梯形的面积找面积元素;若平面图形是曲边扇形,则用圆扇形的面积代替曲边扇形的面积找面积元素;
b.求平面图形绕轴或轴旋转所得旋转体的体积,并求体积的最小、最大值,一般和最值问题结合考。
4.判断函数间断点的类型,运用求极限值的方法,判断第一类(可去间断、跳跃间断)间断点,第二类(无穷间断)间断点。
5.会求空间直线、平面的方程,两向量数量积、向量积的定义,空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。
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