考研数学讲座（76）计算运用决策树。
任意一个事件 a 可以通过事件b和它的逆bˉ作“互斥分解”：
a = ab + abˉ
于是，p（a）= p（a b）+ p（abˉ）
= p（b）p(a∣b) +p（bˉ）p(a∣bˉ）
可以解释为，如果有且仅有两种互斥的随机因素，分别都可以引起事件 a 发生。就可以这样运用“互斥分解”与条件概率来计算a发生的概率。当然，一个随机事件的发生，可能是由多种两两互斥的随机因素引起的。
完备事件组—— 如果 n 个事件 b1，……b n 两两互斥，总和为全样本空间。就称其为一个完备事件组。
画外音：高级语言称此完备事件组其为样本空间的一个“最小覆盖”。
全概率公式 ——
设有完备事件组 b1，b2，--b n ，则任一事件a可以有互斥分解与概率算法：
a = a b1+ a b 2 + ab n ， p(a) =p(a b1)+ p(a b2) +p(a b n )
进而有 p(a) =p(b1) p(a∣b1) +p（b2）p(a∣b2）+ p(b n ) p (a∣b n )
贝叶斯公式 ——
与此同时，产生了一个反问题：“如果事件 a 发生了，它是由于某个随机因素，比如 ,由 b1 的出现而发生的概率是多少？”这是条件概率 p(a b1) ∕p（a），答案自然是。
p(a b1) ∕p（a）= p(b1) p(a∣b1) ∕p(b2) p(a∣b2p(b n ) p (a∣b n ))
例29 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为x，再从 1，…，x 中任意取一个数，记为y ，则
p（y=2）= 13/48
分析取得 x 为四数之一的概率是 1/4 ，穷尽四种情形，用全概率公式计算。
p（y = 2）= 0×1/4 +（1/2）×（1/4）+（1/3）×（1/4）+（1/4）×（1/4）
例30 某地区az 病毒携带者统计比例为万分之一。在定点医院做专项血检时，病毒携带者检测为阳性的概率为 0.95 ，为阴性的概率为 0.
05 ；正常人做此专项血检时，也有0.01 的可能呈阳性。若首次血检呈阳性，试计算受检人确为az病毒携带者的概率。
分析已知 “呈阳性”或“ 呈阴性”的概率，都已经是条件概率。就此地而言，用全概率公式得 p（专项血检呈阳性）= 0.0001×0.
95 + 0.9999×0.01 = 0.
010094
用贝叶斯公式得 p（携带者∣专项血检呈阳性）= 0.0001×0.95∕0. 010094 ≈ 0.0094
潜台词：概率很小！只要“心中无冷病”，就算首次专项血检为阳性，也不用背包袱，赶快去做第二次专项血检。）
例31 某种玻璃杯成箱**，每箱20只。假设各箱含0， 1， 2只残次品的概率相应为0.8， 0.
1，0.1 ；在顾客购买玻璃杯时，售货员随意取出一箱，让顾客随机地察看4只；若没有残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：
1）顾客买下该箱的概率。 （2）在顾客买下的那箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
解记事件 a = b i =
若取出的箱中恰有1件次品，则。
p(a∣b1) =19个取4的组合数) ∕20个取4的组合数) =4/5
同理p(a∣b2) =12/19 ，且显然有 p(a∣b0) =1
由全概率公式 p（a）= p(b 0)p(a∣b0) +p(b 1)p(a∣b1) +p(b 2p(a∣b2) =0.8 + 4/50 + 12/190 ≈ 0.94
2) 即是计算 p (b0∣a) ，不仿把贝叶斯公式的过程练一遍。
p (b0∣a) =p (a b0) ∕p（a）= p(b 0)p(a∣b0) ∕p（a）= 0.8∕0.94 ≈ 0.85
画外音：要注意的细节是，积事件的概率p (a b0) 有两个计算式，p (a b0) =p(b 0)p(a∣b0) =p（a）p (b0∣a)
可以结合已知条件来选择。）
决策树算法”——
决策树是管理科学的常用技术之一。如果用树形图来表示完备事件组和相关问题，并按图上的路径来计算。你可以更好地记忆、掌握全概率公式和贝叶斯公式，并体验到它们之间的一定的“互逆性”。
例32 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，再从中先后抽出两份。
1）求先抽到的一份是女生表的概率p
2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q
分析过程复杂，有三个随机层次。如果用字母表示各事件，就太繁了。我们来作决策树：（为了简单起见，只给出第一主枝。）
↗再抽到男生表（p = 6/9）
→取第一区报名表 ↗抽到男生表（p =7/10） ↘再抽到女生表（p =3/9）
p =1/3）
抽到女生表（p =3/10） ↗再抽到男生表（p =7/9）
↘再抽到女生表（p =2/9）
取第二区报名表 ↗
p =1/3）
其它两个主枝是完全类似的，只是数据不同。计算时要注意层次，穷尽所有分枝。
1）p =（1/3）×(3/10) +1/3）×(7/15) +1/3）×(5/25) =29/30
2) 要算q ，先要算出 p (后抽到的一份是男生表) =在第三丛上有6个分枝，1/3）×(7/10）×(6/9) +1/3）×(3/10)×(7/9) +1/3)×(8/15)×(7/14) +
上述6个分枝中，反向往左看，在第二丛上，有3个分枝的前因是“先抽到女生表”。由这三个前因而后抽到男生表的概率总计为。
用贝叶斯公式得 q = 20/90) ∕61/90) =20/61
画外音：我想起了本科时编的一句打油诗，“将因求果“全概率”，以果索因“贝叶斯”。”
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