典型例题。
1、过河问题。
例1．小船在200m的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求：
1．小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？
2．小船怎样过河位移最小，最小位移为多少？
解： 如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：
过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v⊥决定，即，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为也与v1无关。
过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1＜v2时，最短路程为d ；
2、连带运动问题。
指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
例2 如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2
解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1
3、平抛运动。
例3平抛小球的闪光**如图。已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔t，求：v0、g、vc
解析：水平方向： 竖直方向：
先求c点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vc：
2）临界问题。
典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？
例4 已知网高h，半场长l，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v的取值范围。
解析：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：
实际扣球速度应在这两个值之间。
4、圆周运动。
例5如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
解析：va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4
点评：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。
例6 小球在半径为r的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期t的关系。（小球的半径远小于r。）
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力f是重力g和支持力n的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有：
由此可得：，式中h为小球轨道平面到球心的高度）。
可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v越大，t越小。
点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
例7：长，质量可忽略不计的杆，其下端固定于o点，上端连接着质量的小球a，a绕o点做圆周运动，如图所示，在a点通过最高点时，求在下面两种情况下，杆的受力：
a的速率为1m/s;
a的速率为4m/s；
解析：对a点进行受力分析，假设小球受到向上的支持力，如图所示，则有
则分别带入数字则有。
fn =16n
fn = 44n负号表示小球受力方向与原假设方向相反。
例8 质量为m的小球在竖直面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨道的临界速度是v，当小球以3v速度经过最高点时，球对轨道的压力大小是多少？
解析：对a点进行受力分析，小球受到向下的压力重力，其合力为向心力，有。
则。解得fn = 8mg
例9 如图所示，用细绳一端系着的质量为m=0.6kg的物体a静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔o吊着质量为m=0.3kg的小球b，a的重心到o点的距离为0.
2m．若a与转盘间的最大静摩擦力为f=2n，为使小球b保持静止，求转盘绕中心o旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
解析：要使b静止，a必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．a需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，a有离心趋势，静摩擦力指向圆心o；角速度取最小值时，a有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心o．
对于b，t=mg
对于a， rad/s rad/s
所以 2.9 rad/s rad/s
练习：1．在质量为m的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为r，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过。
a． b．
c． d．
万有引力及天体运动：
例10 地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为r，万有引力恒量为g，可以用下式估计地球的平均密度是。
a． b． c． d．
解析在地球表面的物体所受的重力为mg，在不考虑地球自转的影响时即等于它受到的地球的引力，即。
密度公式地球体积 ③
由①②③式解得。
选项a正确。
点评本题用到了“平均密度”这个概念，它表示把一个多种物质混合而成的物体看成是由“同种物质”组成的，用求其“密度”。
例11 “神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径r=6.37×103km，地面处的重力加速度g=10m/s2。
试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期t的公式（用h、r、g表示），然后计算周期t的数值（保留两位有效数字）。
解析因万有引力充当飞船做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
又②由①②得代入数据解得：t=5421s
例12 全球电视实况转播的传送要靠同步卫星。同步卫星的特点是轨道周期与地球自转的周期相同。如果把它旋转在地球赤道平面中的轨道上，这种卫星将始终位于地面某一点的上空。
一组三颗同步卫星，按图所示，排成一个正三角形，就可以构成一个全球通讯系统基地，几乎覆盖地球上全部人类居住地区，只有两极附近较小的地区为盲区。试推导同步卫星的高度和速度的式子。设地球的质量用m表示，地球自转的角速度用ω表示。
解析设卫星质量为m，轨道半径为r，根据同步卫星绕地心的匀速圆周运动所需的向心力即为它受到的地球的引力，则有。解得。其中ω=7.
27×10-5rad/s是地球的自转角速度，g=6.67×10-11n·m2/kg2是万有引力常量，m=5.98×1024kg是地球的质量。
将这些数据代入上式，得同步卫星离地心的距离为 r=4.23×107m。
它的速率是，其数值大小为：
v=rω=4.23×107×7.27×10-5m/s=3.08×103m/s
点评三颗互成120°角的地球同步卫星，可以建立起全球通信网，每颗卫星大约覆盖40%的区域，只有高纬度地区无法收到卫星转播的信号。
例13 地球同步卫星离地心距离为r，环绕速度大小为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为r，则下列关系式正确的是 （
ab． cd．
解析在赤道上的物体的向心加速度a2≠g，因为物体不仅受到万有引力，而且受到地面对物体的支持力；随地球一起自转的物体不是地球卫星，它和地球同步卫星有相同的角速度；速度v1和v2均为卫星速度，应按卫星速度公式寻找关系。
设地球质量为m，同步卫星质量为m，地球自转的角速度为ω，则。
对同步卫星赤道上的物体。
所以对同步卫星。
所以第一宇宙速度所以。
故答案为ad。
例14 某物体在地面上受到的重力为160n，将它放置在卫星中，在卫星以加速度随火箭向上加速度上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90n时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径r=6.4×103km，g取10m/s2）
解析设此时火箭上升到离地球表面的高度为h，火箭上物体受到的支持力为fn，物体受到的重力为mg’，据牛顿第二定律 ①
在h高处在地球表面处 ③
③代入。点评 （1）卫星在升空过程中可以认为是坚直向上做匀加速直线运动，可根据牛顿第二定律列出方程，但要注意由于高度的变化可引起的重力加速度的变化，应按物体所受重力约等于万有引力列方程求解。
2）有些基本常识，尽管题目没有明显给出，必要时可以直接应用。例如，在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，地球自转周期t=24小时，公转周期t=365天等。
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