2023年4月高考模拟优秀综合试题汇编。
1．（重庆市2009届高三第二次质量检测）已知是各项都为正数的数列，为其前项的和，且 （1）分别求，的值； （2）求数列的通项；
3）求证：2．（2008-2009学年度南昌市高三第二次模拟试卷）已知点的坐标为，点为轴负半轴上的动点，以线段为边作菱形，使其两对角线的交点恰好在轴上。 （1）求动点的轨迹的方程；
2）若点是（1）中轨迹上的动点，点是定点，是否存在垂直轴的直线，使得直线被以线段为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，用表示直线的方程；若不存在，说明理由。
3．（2008-2009学年度南昌市高三第二次模拟试卷）已知函数（是自然对数的底），1）若函数是上的增函数，求的取值范围；
2）若对任意的，都有，求满足条件的最大整数的值；
3）证明：。
4.（北京101中学2008—2009学年下学期临模高三数学（理科）试卷）已知函数，其中。
（1）当时，求曲线在点（2，f（2））处的切线方程；
2）当时，求函数f（x）的单调区间与极值。
5.（北京101中学2008—2009学年下学期临模高三数学（理科）试卷）已知为数列的前n项和，且。
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
3）设的前n项和为，求证：。
6.（上海市金山区2008-2009学年第二学期高三质量测试）等差数列｛an｝的前n项和为sn，a1＝2，公差为2，在等比数列｛bn｝中，当n≥2时，b2＋b3＋…＋bn=2＋p(p为常数).
1)求an和sn； (2)求b1，p和bn；
3)若tn＝对于一切正整数n，均有tn ≤ c恒成立，求c的最小值。
7.（上海市金山区2008-2009学年第二学期高三质量测试）
1)设u、v为实数，证明：u2+v2 ≥
2)请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题。
材料：已知△lmn内接于边长为1的正三角形abc，求证：△lmn中至少有一边的长不小于 。
证明：线段an、al、bl、bm、cm、 cn的长分别设为a1、a2、b1、b2、c1、c2，设ln、lm、mn的长为。
x、y、z，x2= a12+a22–2a1a2cos60o= a12+a22–a1a2
同理：y2= b12+b22–b1b2，z2= c12+c22–c1c2，x2+y2+z2 = a12+a22+b12+b22+c12+c22–a1a2–b1b2–c1c2
请利用(1)的结论，把证明过程补充完整；
3) 已知n边形aaa……a内接于边长为1的正n边形a1a2…an，(n≥4)，思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答。
8.（上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研）如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，.
1）求异面直线与所成角的大小；
2） 若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角。 试判断曲线的形状并说明理由；
3）在平面内，设点是（2）题中的曲线在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中为曲线和的交点。 以为圆心，为半径的圆分别与梯形的边、交于、两点。 当点在曲线段上运动时，试提出一个研究有关四面体的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决。
说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数】
9.（辽宁省营口市2009届高三高考模拟考试） 设函数的定义域为，当时，，且对于任意的实数都有成立，1）求的值，判断并证明函数的单调性；
2）若数列满足，求的通项公式；
（3）如果，，求数列的前项和。
10.（河南省周口市2023年高三年级第一次模拟考试）已知各项都不为零的数列的前项和是，且，，令，数列的前项和是。
1) 求的通项公式；（2) 求证： 。
11.（安徽省合肥市2023年高三第二次教学质量检测）已知为正项数列的前项和，且满足。
（1）求； （2）求数列的通项公式；
（3）已知函数，数列的通项公式为前项和为，若时，不等式恒成立，求t的取值范围。
12.（西安四校）已知正项数列满足对一切，有，其中。
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ) 求证： 当时，.
13.（抚顺县高中）已知椭圆c:（a＞b＞0），点f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，点p(2,)在直线x= 上，且|f1f2|=|pf2|,直线：
y=kx+m为动直线，且直线与椭圆c交于不同的两点a、b。
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）若在椭圆c上存在点q，满足（o为坐标原点），求实数的取值范围；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，当取何值时，△abo的面积最大，并求出这个最大值．
14.（东北三省三校） 数列满足： （i）求证：
（ⅱ）令 （1）求证：是递减数列； （2）设的前项和为求证：
15.（烟台3月）设函数h（x）=，x）=2elnx为（e为自然对数的底数），（1）求f（x）=h（x）-φx）的极值；
（2）若存在实常数r和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线，试问函数h（x）和φ（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由。
16.（湖北省部分重点中学）已知函数为常数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数．（i）求的值；
ii）若在上恒成立，求的取值范围；
iii）讨论关于的方程的根的个数．
17.（南京市江宁高级中学）已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果是增函数，且存在零点（为的导函数）．
ⅰ）求a的值；
ⅱ）设a（x1，y1）、b（x2，y2）（x118.（南京市江宁高级中学）已知数列中，，且对时，有．
ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
ⅱ）记，求数列的前n项和sn．
19.（湖南省2009届高三十二校联考第二次考试） 已知函数。
1）求在处的切线方程。
2）若的一个极值点到直线的距离为1，求的值；
3）求方程的根的个数。
20.（上饶市2008－2009学年度高三年级第一次模拟考试）标准椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为f1、f2，m(，1)在椭圆上，且·＝0.
1) 求椭圆方程；
2) 若n在椭圆上，o为原点，直线l的方向向量为，若l交椭圆于a、b两点，且na、nb与x轴围成的三角形是等腰三角形(两腰所在的直线是na、nb)，则称n点为椭圆的特征点，求该椭圆的特征点。
21.（上饶市2008－2009学年度高三年级第一次模拟考试）已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a<0).
1) 若函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
2) 若a＝－且关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
3) 设各项为正的数列满足：a1＝1，an＋1＝ln an＋an＋2，n∈n*，求证：an≤2n－1.
22.（山东省淄博市2008-2009学年度高三第一次模拟考试）已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆，其离心率，且经过抛物线的焦点。1。
求椭圆的标准方程；2。若过点b（2，0）的直线l与椭圆交于不同的亮点e、f(e在b、f之间)且 ，试求实数的取值范围。
23.（吉安市高三第一次模拟考试理科数学）设函数f(x)＝.
1) 判断f(x)在区间(0，π)上的增减性并证明之。
2) 若不等式0≤a≤＋对一切x∈[3,4]恒成立。
求实数a的取值范围； ②设0≤x≤π，求证：(2a－1)sin x＋(1－a)sin(1－a)x≥0.
24．（湖北省黄冈宜昌襄樊孝感荆州五市2023年高三联合考试）已知抛物线的准线方程，与直线在第一象限相交于点，过作的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，过作的平行线交抛物线于第一象限内的点，过作抛物线的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，…，依此类推，在x轴上形成一点列，，，设点的坐标为。
（ⅰ）试探求关于的递推关系式； （求证：；
ⅲ）求证：．
25．（江西省八校2023年高三联合考试数学）如图，已知，，且，若。
1)求动点p的轨迹e；
2)过e上任意一点向作两条切线pf、pr，且pf、pr交轴于m、n，求mn长度范围。
26．（吉林省长春市第二实验中学）已知数列的首项，，．
ⅰ）求的通项公式； （证明：对任意的，，；
ⅲ）证明：．
27．（湖南省雅礼中学2009届高三第七次月考）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．已知无穷等比数列的首项和公比均为．
（１）试求无穷等比子数列（）各项的和；
（２）已知数列的一个无穷等比子数列各项的和为，求这个子数列的通项公式；
３）证明：在数列的所有子数列中，不存在两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等．
28．（北京市西城区 2023年抽样测试高三数学试卷）设，对于有穷数列(),令为中的最大值，称数列为的“创新数列”. 数列中不相等项的个数称为的“创新阶数”. 例如数列的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.
考察自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列。
ⅰ）若m=5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列；
ⅱ) 是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由；
ⅲ）在创新阶数为2的所有数列中，求它们的首项的和。
29．（江苏省南通市2009届高三第四次统一考试）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。
1）试求函数的单调区间；
（2）点从左到右依次是函数图象上三点，其中求证：⊿是钝角三角形．
30．（广东省惠州市2009届高三模拟考试数学试题）如图，已知直线l：与抛物线 c： 交于a，b两点，为坐标原点，。
ⅰ）求直线l和抛物线c的方程；
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