2008海淀区高三数学查漏补缺题。
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一、三角部分。
1．已知且。
（i）求（或）；（ii） 求。
解（i），（
（ii），.
解法2：，，
2．右图为函数的一段图象。
（i）请写出这个函数的一个解析式。
（ii）求与（i）中函数图象关于直线。
对称的函数图象的解析式，并作出它一。
个周期内的简图。
解：（i）又。
由的图象过。
（为其中一个值）.
∴为所求。（ii）设为所求函数图象上任意一点，该点关于直线对称点为，则点必在函数的图象上。
∴，即。的图象关于直线对称的函数图象的解析式是。
列表作图：二、概率。
3．（文科）一辆车要直行通过某十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）. 已知每辆车直行的概率是，左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟。 假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟，求：
（i）前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率；
（ii）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）
解：（ⅰ前4辆恰有2辆左转行驶的概率
（ⅱ）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率。
4.（理科） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。
（ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
解：（ⅰ依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
甲答对试题数ξ的数学期望eξ=0×+1×+2×+3×=.
（ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为a、b，则。
p（a）==p（b）==
因为事件a、b相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为。
p（）=p（）p（）=1－）（1－）=
甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为p=1－p（）=1－=.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为。
方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为。
p=p（a·）+p（·b）+p（a·b）=p（a）p（）+p（）p（b）+p（a）p（b）
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为。
三、立体几何。
5．已知矩形abcd中，ab=，ad=1. 将△abd沿bd折起，使点a在平面bcd内的射影落在dc上。
ⅰ）求证：平面adc⊥平面bcd；
ⅱ）求点c到平面abd的距离；
ⅲ）若e为bd中点，求二面角b-ac-e的大小。
方法1：（ⅰ）证明：∵点a在平面bcd上的射影落在dc上，即平面acd经过平面bcd的垂线，平面adc⊥平面bcd.
（ⅱ）解：依条件可知bc⊥dc，又平面平面，且平面平面＝
bc⊥平面acd. ∵da平面acd，bc⊥da.① 依条件可知da⊥ab.
∵ab∩bc=b，∴由①、②得da⊥平面abc.
设点c到平面abd的距离为d，da⊥平面abc，∴da是三棱锥d-abc的高。
由vc-abd=vd-abc，得ds△abd=das△abc.
解得d=.即点c到平面abd的距离为。
（ⅲ）解：取中点，连为中点。
由（ⅱ）中结论可知da⊥平面abc，∴ef⊥平面abc.
过f作fg⊥ac，垂足为g，连结eg，则gf为eg在平面abc的射影，
∠egf是所求二面角的平面角。
在△abc中。
fg＝bc＝, 又efad，∴ef＝
在△efg中容易求出∠egf=45°.
即二面角b-ac-e的大小是45°.
方法2：（ⅰ证明：如图，以cb所在直线为x轴，dc
所在直线为y轴，过点c，平面bdc方向向上的法向量为z轴建立空间直角坐标系。
所以c（0，0，0）， b（1，0，0），d（0，－，0），设。
点a在平面bcd上的射影落在dc上，由且，得。
点a的坐标为a（0，，）
n1=（0，0，1）是平面bcd的一个法向量。
而=（1，0，0）是平面adc的一个法向量。
n1·= 0，0，1）·（1，0，0）=0，平面acd⊥平面bcd.
（ⅱ）解：设点c到平面abd的距离为d，=（0，，-1，，）0，，）容易求出平面abd的一个法向量为n2=（-1，-1） .
d=||cos<，n2>|=1×|=
即点c到平面abd的距离为。
（ⅲ）解：∵ 1，-，1，0，0），容易求出平面abc的一个法向量为n3= （0，1，1） .
a（0，-，e（，-0），=0，-）
容易求出平面aec的一个法向量为n4= （2，，）
n3·n4=0++=2，| n3|=，n4|=2，
cos< n3，n4>==
二面角b-ac-e的大小是45
6*．如图，已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长和底面边长均为1，m是底面bc边上的中点，n是侧棱cc1上的点，且cn＝nc1.
ⅰ）求证：am面bc；（或若为的中点，求证：.）
ⅱ）若二面角b1－am－n的平面角的余弦值为，求的值；
ⅲ）在第（ⅱ）的前提下，求点b1到平面amn的距离。
解法1：（ⅰ因为m是底面bc边上的中点，且ab=ac，所以ambc，在正三棱柱abc-a1b1c1中，底面， am 又。所以am平面。
或：连结， 又，.）
ii）因为am平面
且m平面，nm平面。
amm, amnm，mn为二面角—am—n的平面角。，设c1n=，则cn=1－
又m=,mn=,
连n，得n＝，在mn中，由余弦定理得
得=.故=2.
iii）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以amh.于是h平面amn，故h的长即为到平面amn的距离。在中，h＝m.故点到平面amn的距离为1
解法2：（ⅰ建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），m（0，，0）,c（0,1,0）, a （）设n （0,1,a） ,所以，因为所以，同法可得。
又故am面bc.
（ii）由（ⅰ）知﹤﹥为二面角—am—n的平面角，以下同法一。
（ⅲ）设n=（x,y,z）为平面amn的一个法向量，则由得，由（ii）知。
故可取。到平面amn的距离为。
四、解不等式。
7．已知集合a＝，b＝.
（i）当a＝2时，求ab；
（ii）求使ba的实数a的取值范围。
解：（i）当a＝2时，a＝（2，7），b＝（4，5）
a b＝（4，5）
（ii）解集合b＝，
当，则 b=；当，则 b＝（2a，a2＋1），解集合a＝
当a＜时，a＝（3a＋1，2）；当a＝时，a＝；
当a＞时，a＝（2，3a＋1）；
要使ba，当，则 b=, b a成立；
当，则 b＝（2a，a2＋1），当a＜时，a＝（3a＋1，2）要使b a，必须， 此时a＝－1；
当a＝时，a＝，而b，故使ba的a不存在；
当a＞且时，a＝（2，3a＋1），要使ba，必须， 此时1综上可知，使ba的实数a的取值范围为。
8．*（理）已知不等式。
（i）分别求不等式①②的解集。
（ii）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围。
（iii）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个，求实数m的取值范围。
（文）已知不等式。
（i）分别求不等式①②的解集。
（ii）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围。
（iii）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个，求实数m的取值范围。
解：（i） ①的解集为a=
ii）由（1）:或知。
要满足题意的要求，则方程2x2+mx－1=0的一根小于等于0（文：小于0），另一根大于等于3.
设f（x）= 2x2+mx－1，则（文）
（iii）要满足题意的要求，则方程2x2+mx－1=0的两根应在区间（－1，4]上。
设f（x）= 2x2+mx－1，抛物线开口向上且f（0）＝－1<0, 故。
则。 五、数列。
9．已知各项均为正数的数列，， 其中，（i）证明；
（ii）设，试证明；
（iii）若数列满足，求数列的前项和。
i）运用数学归纳法证明如下：
当时，由条件知，故命题成立；
假设当时，有成立。
那么当时， 故命题成立。
综上所述，命题对于任意的正整数都成立。
ii） iii）
且。数列是以为首项，以2为公比的等比数列。
10. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
i）若，求；
ii）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
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