第四讲，重叠问题。
内容：重叠问题。
目的：1、使学生通过具体的包含与排除内容，借助多种方法初步理。
解集合的思想。
2、使学生借助集合的思想和方法去解决简单的实际问题。教材简析：义务教材中，对重叠问题有所题及，本节将这一内容进行。
拓展加深，运用数形结合法，初步将实践知识上升到理论上来，对以后中学学习集合，函数做好基础铺垫。
重点、难点：1、如何理解集合与元素的关系。
2、两集合有重叠部分时，如何理顺重叠部分与各集合。
的关系。数学方法：举例法，图示法与分析法结合。
教学流程：情景导入：
同学们，我们现在来做一个脑筋急转弯的游戏，好不好？
一间房子里，有两个爸爸，两个儿子，请问这间房子里有几个人？学生讨论后得出：一般情况，两对父子共4人。
①2＋2=4特殊情况，两对父子中，有1人既是爸爸又是儿子，形成3代人，所以，房子里只有3人。②2＋2－1=3
教师分析两算式，①彼此不包含，直接相加。
彼此有重叠的1人，所以，先相加，再减去1人这种问题，就是我们数学上的重叠问题。掌握好这种问题，对同学上高中学集合，函数会带来很大的帮助的。（教师板书课题）讲授新课：**新知：
例1、四年级①班的学生参加体育活动，有28人参加打乒乓球，有。
26人参加打羽毛球，两种都参加的有12人，问全班共有多少人？
教师分析：1、三个数据的意义，其中28人中包含了12人，26人中。
也包含12人，12是重叠了的数。
2、画图理解三个数据。
a12aa人。28人。b
26人。学生讨论：28—12=16
26—12=14的意义。
教生互动求：全部的总人数，按两种方法去求。
完全解答：28＋26－12=54－12=42人。
答：全班共有42人。
学生模仿训练：第40页，第1，2题。
小结：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中。
减去重复部分。
对重叠问题：1、画图可直观理解。
2、处理数据，做到不重复，不遗漏。
**新知：例2：某班共有46名学生。在一次数学测验中，答对第一题的有33人，答对第二题的有38人，两题都答错的有5人。问：两题都答对有多少人？
教师分析：1、求出46－5=41（人）,41人的数学意义是什么？2、画图表示：学生求出两圆重叠部分的人数，就是要求。
的人数。学生分组讨论：数据46人、41人、33人，38人，5人与图中各部。
5人。第1题33人。
人。第二题38人。
分的对应关系。
完全解答：33＋38－（46－5）=71－41=30（人）答：两题都答对有30人。
学生模仿训练：第42页，第3题。
小结：如果s个东西具有性质a或具有性质b，具有性质a的有a个，具有性质b的有b个，那么即具有性质a，又具有性质b的个数是a+b—s。
**新知：例3：在1到100的自然数中，既不是5的倍数，也不是。
6的倍数的数有多少个？
教师分析：1、逆向思考，把问题转化为：把1---100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
2，画图直观理解。
3举例子说明：能被5整除的数里面，有的能被6整除。
能被6整除的数里面，有的能被5整除。
能同时被5和6整除的数，就是5和6的公倍数，就是30
的倍数。学生讨论：求一个数的公倍数的个数的方法。
学生互动：求出在1——100中，能被5整除的数的个数，100÷5=20。能被6整除的数的个数，100÷6=16。。。4
能被30整除的数的个数，100÷（5×6）=3。。。10完全解答：100－（16＋20－3）=67
答：在1至100个整数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有67个。
学生模仿训练：第43页，第4题。
小结：1，有些整数性问题可转化为重叠问题，可以把数据与图示结。
合，再去求解。
2，有些问题，逆向思考会来得简便。
**新知：例4：四年级学生参加课外活动，有42人参加科技小组，有55人参加航模小组，有30人参加美术小组，其中既参加科技小组。
a6的倍数。
5和6的。公倍数b
5的倍数。c
又参加航模小组的人有10人，既参加科技小组又参加美术小组的人有7人，既参加美术小组又参加航模小组的人有9人，有3人三项都参加了。问这个年级参加课外活动的共有多少人？
教师提问：这个年级参加课外活动的共有的人数42＋55＋30=127吗？师生互动：1，画图。
2，分析重叠部分的意义和重叠的次数。教师点拨；两种角度求解：
1，观察图形，面积叠合法：总面积=三个圆面积和－三个重叠两。
次的面积＋一个重叠三次的面积，教师可以操作演算，帮助学生理解。
2，分块计数法，把整个图分为七个小块。学生讨论：各个小块的求法和意义。
完全解答：方法1；42＋55＋30－10－7－9＋3=104人方法2；28＋39＋17＋7＋4＋6＋3=104人学生模仿训练：第45页，第5题。
答：这个年级参加课外活动的共有104人。小结：对于多次的重叠问题，有两种常见解法；
1，观察图形，面积叠合法。2，分块计数法。
学生巩固练习：第4
5页，第1题。第46页，第2题。
课堂总结：学生回顾重叠问题的解法和常见结论，教师补充。
拓展提高：第46页，下面第一，二题。
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