一、和差问题。
说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了。是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：
大数=（和+差）÷2
小数=（和-差）÷2
会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算。
先看几个简单的例子。
例1 张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？
解：95乘以2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8.因此。
数学得分=（95×2＋8）÷2＝99.
语文得分=(95×2-8）÷2＝ 91.
答：张明数学得99分，语文得91分。
注：也可以从 95×2-99＝91求出语文得分。
例2 有 a，b，c三个数，a加 b等于 252，b加 c等于 197， c加 a等于 149，求这三个数。
解：从b+c＝197与a+c＝149，就知道b与a的差是197-149，题目又告诉我们，b与a之和是252.因此。
b=（252＋ 197-149）÷ 2＝ 150，a＝252-150＝102，c＝149-102＝47.
答：a，b，c三数分别是102，150，47.
注：还有一种更简单的方法。
（a+b）＋（b＋c）＋（c＋a）＝2×（a＋b＋c）.
上面式子说明，三数相加再除以2，就是三数之和。
a＋b＋c＝（252＋197＋149）÷2＝299.因此。
c＝299-252＝47，b＝299-149＝150，a＝299-197＝102.
例3 甲、乙两筐共装苹果75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克。甲、乙两筐原各有苹果多少千克？
解：画一张简单的示意图，就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多。
5＋7＋ 5＝ 17（千克）
因此，甲、乙两数之和是 75，差为17.
甲筐苹果数=（75＋17）÷2＝ 46（千克）.
乙筐苹果数=75-46＝29（千克）.
答：原来甲筐有苹果46千克，乙筐有苹果29千克。
例4 张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子。外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？
解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的**和是 270元，差是 210元。
外衣和鞋价之和=（270＋ 210）÷2＝ 240（元）.
外衣价与鞋价之差是140，因此。
鞋价=（240-140）÷2＝50（元）.
答：买这双鞋花50元。
再举出三个较复杂的例子。如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了。
例5 李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了。他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟。夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整。
假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？
解：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的。就有。
钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）.
晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时。这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了。
因此。钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）.
现在已把问题转化成标准的和差问题了。
钟停的时间=（160＋120）÷ 2＝ 140（分钟）.
路上用的时间=160-140＝20（ 分钟）.
答：李叔叔的钟停了2小时20分。
还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：
以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以。
上班路上所用时间=（8小时50分钟-8小时-10分钟）÷2＝20（分钟）.
钟停时间=2小时 40分钟-20分钟。
=2小时20分钟。
例6 小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.
7元，钱恰好用完。可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元。
问小明买甲、乙卡各几张？
解：甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7＝ 0. 8（元），售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8＝4（张）.
现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了。如何求呢？请注意。
1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4.
1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2.
从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是。
[21.4＋（21.4-3.2）]÷1.5＋ 0.7）＝ 18（张）.
因此，甲卡张数是。
（18 ＋ 4）÷ 2＝ 11（张）.
乙卡张数是 18-11＝ 7（张）.
答：小明买甲卡11张、乙卡7张。
注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲。
例7 有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图。大长方形（a）的周长是240厘米，大长形（b）的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？
解：大长方形（a）的周长是原长方形的。
长×2+宽×4.
大长方形（b）的周长是原长方形的。
长×4+宽×2.
因此，240+258是原长方形的。
长×6+宽×6.
原长方形的长与宽之和是。
（240＋258）÷6＝83（厘米）.
原长方形的长与宽之差是。
（258-240）÷2＝9（厘米）.
因此，原长方形的长与宽是。
长：（83＋ 9）÷2＝ 46（厘米）.
宽：（83-9）÷2＝37（厘米）.
答：原长方形的长是46厘米、宽是37厘米。
二、倍数问题。
当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数。小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型。先看几个基础性的例子。
例8 有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个。那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍。
解：两堆棋子共有87＋69＝156（个）.
为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1＋3＝4（份），即每份有棋子。
156 ÷（1＋3）＝39（个）.
第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去。因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是。
87-39＝48（个）.
答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去。
例9 有两层书架，共有书173本。从第一层拿走38本书后，第二层的书比第一层的2倍还多6本。问第二层有多少本书？
解：我们画出下列示意图：
我们把第一层（拿走38本后）余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2份还多6本。再去掉这6本，即。
173-38-6＝129（本）
恰好是3份，每一份是。
129÷3=43（本）.
因此，第二层的书共有。
43×2 + 6＝92（本）.
答：书架的第二层有92本书。
说明：我们先设立“1份”，使计算有了很方便的计算单位。这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效。把份数表示在示意图上，更是一目了然。
例10 某小学有学生975人。全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人。问全校有男、女生各多少人？
解：设六年级学生人数是“1份”.
男生是4份-23人。
女生是3份+11人。
全校是7份-（23-11）人。
每份是（975+12）÷7＝141（人）.
男生人数=141×4-23＝541（人）.
女生人数=975-541＝434（人）.
答：有男生541人、女生434人。
例9与例10是一个类型的问题，但稍有差别。请读者想一想，“差别”在**？
70双皮鞋。此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍。问原来两种鞋各有几双？
解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份。那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6（份）.400＋70将是 3+1＋6＝10（份）.每份是。
（400＋70）÷10＝47（双）.
原有旅游鞋 47×4=188（双）.
原有皮鞋 47×6-70＝212 （双）.
答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双。
设整数的份数，使计算简单方便。小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷。因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中。
下面例子将是本节的主要内容──年龄问题。
年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件。解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变。
例12 父亲现年50岁，女儿现年14岁。问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍？
解：父女相差36岁，这个差是不变的。几年前还是相差36岁。当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁。这36岁是女儿年龄的（5-1）倍。
当时女儿是9岁，14-9＝5，也就是5年前。
答：5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍。
例13 有大、小两个水池，大水池里已有水 300立方米。小水池里已有水70立方米。现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍。
问每个水池注入了多少立方米的水。
解：画出下面示意图：
我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份。从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份。
因此每份是。
（300-70）÷2＝ 115（立方米）.
要注入的水量是。
115-70=45 （立方米）·
答：每个水池要注入45立方米的水。
例13与年龄问题是完全一样的问题。“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.
例14 今年哥俩的岁数加起来是55岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍。哥哥今年几岁？
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