数学(理科) 2014.01
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1.复数等于（）
a. bc. d.
2.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是（）
a. bc. d.
3.下列极坐标方程表示圆的是（）
a. b.
c. d.
4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为（）
a. 3b. 5
c. 10d. 16
5. 的展开式中的常数项为（）
a. 12 b. c. d.
6.若实数满足条件则的最大值是（）
abcd.
7.已知椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上点满足。 若点是椭圆上的动点，则的最大值为（）
a. b. c. d.
8.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）
a.50种b.51种c.140种d.141种。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.已知点是抛物线：的焦点，则___
10.在边长为2的正方形中有一个不规则的图形，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积。若在正方形中随机产生了个点，落在不规则图形内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形的面积的估计值为。
11.圆：（为参数）的圆心坐标为直线：被圆所截得的弦长为。
12.如图，与圆相切于点，过点作圆的割线交圆于两点，，，则圆的直径等于。
13. 已知直线过双曲线的左焦点，且与以实轴为直径的圆相切，若直线与双曲线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是。
14. 已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示。
1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为。
2）关于该四棱锥的下列结论中：
四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；
四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；
四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面。
所有正确结论的序号是。
三、解答题： 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
函数。ⅰ）在中，，求的值；
ⅱ）求函数的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程。
16．（本小题共13分）
根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示。
假设每名队员每次射击相互独立。
ⅰ）求上图中的值；
ⅱ）队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）；
ⅲ）由上图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明）
17．（本小题共14分）
如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.
ⅰ）求证：底面；
ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
ⅲ）**段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．
18.（本小题共13分）
已知关于的函数。
ⅰ）当时，求函数的极值；
ⅱ）若函数没有零点，求实数取值范围。
19.（本小题共14分）
已知椭圆：的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点。判断直线是否关于直线对称，并说明理由。
20.（本小题共13分）
若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数。
ⅰ）判断下列函数： ；中，哪些是等比源函数？（不需证明）
ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；
ⅲ）证明：，函数都是等比源函数。
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