光滑正交分解方法的发展获得车辆悬架系统的模态参数。
mousa rezaee *，vahid shaterian –alghalandis,ali banan-noj**ani
school of mechanical engineering, university oftabriz, box 51665315, tabriz, iran
摘要：在本文中，光滑正交分解（sod）方法发展到轻阻尼系统中，该系统的输入是一个或多个随机过程的时间转移函数。这样的一个实际例子就是车辆悬架系统，作用于后轮的随机输入是一个时间转移函数，该随机输入是由于路面的不平度引起的，相同的随机输入经过时滞作用于前轮，该时滞的大小取决于车辆的轴距和速度。
sod方法的发展用来确定某一确定的车辆悬架系统的固有频率和振型，并把所得结果与由解决结构特征值问题所得到的真实值作比较。结果的一致性表明，sod方法可以用来高精度计算振动系统的模态参数情形中，这个系统的输入是一个或多个随机过程的转移函数。
1.介绍。传统的实验模态分析，利用系统的输入和输出，得到其振型和固有频率。
然而，使用这种方法通常存在困难，例如，在许多实际结构如受到**的建筑物，其输入是未知的。同样在大多数情况下，使用传统方法需要建立复杂的频率响应函数或传递矩阵函数，这些函数包含复杂的评估程序。此外，传统的方法通常需要采集各点的系统响应。
为了解决这些问题，一些新奇的方法被称为“output-only模态分析”方法被引入，其中，仅通过测量输出来估计系统的模态参数。
output-only 模态分析”方法众多，都是从频域和时域两个方面来进行分析。在频域方面，“峰值检出法”是应用最广泛的一种方法[1-3].另外一种方法，“频域分解法”，是基于奇异值分解法分解功率谱密度函数矩阵的一种方法[4]。
“最小二乘复频域法”[5-7]和“只输出最大相似值法”[9]是以有理多项式为基础的方法，这两种方法扩展到output-only方法。在时域方面，“单站时间域”是一个基于从实验响应数据中构建振动系统数学模型的老技术[9]。通过利用谐波和白噪声激励并存操作条件下进行结构模态分析，该方法得以发展[10]。
“子空间方法”和其他众所周知的时间域的方法，通常需要线性代数运算，如奇异值分解（svd），qr因式分解等，去消除噪声和降低计算复杂度[11-18]。在“output-only模态分析”中，“随机衰减法’几乎是最常用的方法[19]。“自激励技术”,于20世纪90年代发展起来，是基于复杂指数运算的一个标准方法[20]。
“直接参数模型识别方法”（dpsi）是由leuridan[21]开发的一种模态分析方法，该方法适用于自由振动（冲击反应）和随机激励。“独立元分析”是运用“盲源分离技术”获得模态参数的另外一种方法[22，23]。其他的时域分析方法有“ibrahim方法”[24-26],“特征系统实现方法”[27]，“扩展式kalman滤波器方法”[28],“最小二乘曲线拟合技术”[29,30]，“自回归滑动平均方法”[31-34]等。
本征正交分解”（pod）[35-39]是另外一种用来获得关于结构的线性模态的完整信息的标准方法。pod方法通常运用在自由振动、随机振动或谐波激励条件下，同时测得描述输出变量矩阵的协方差的模型。但是这种方法存在一定的局限性。
首先，需要掌握质量矩阵的知识；而且当一些“本征正交值”彼此接近时，“本征正交模式”（由实际振动模式获得）没有明确的定义。因此，chelidze和周开发“光滑正交分解”（sod）[40]来克服这些问题。最初，这种方法中关于位移和速度的协方差矩阵被用来估算轻阻尼自由振动系统的模态参数。
后来，feeny将这种方法发展到处于随机白噪声激励情形下的系统，并由此得出结论，如果各部件的系统输入是完全相互独立的，又或者是关于一个具体白噪声函数的倍数并且全部相互依赖，那么系统的模态参数就可以运用位移和速度的协方差矩阵来确定，就像chelidze和周介绍的自由振动情况一样[40]。
虽然大多数结构都在以上提及的方式中，但是feeny介绍说也有一些实际的例子，不能把激励归入时域和频域这两类中。在本文中，首先，将sod方法推广到一般形式的振动系统中，此时一些输入是相互独立的白噪声或者是其他的相互独立的任意时间转移输入的线性组合。然后，将一个7自由度的汽车模型作为一个实际的例子，后轮激励和作用在前轮的白噪声输入，且两种输入都是转移函数，sod方法发展到这个例子上。
为了表明在上述情形下sod方法的适用性和验证结果，采用sod方法获得给定车辆的模态参数，并将这些参数与从结构特征值问题（evp）中获得的参数进行比较。指的留意的是，根据对sod方法的扩展，这种方法可以被应用到所有的案例中，在这些振动系统的案例中，输入都是关于一个或多个涉及白噪声的转移函数。
2.自由振动系统的光滑正交分解。
我们假设自由振动系统是一个有个自由度的非阻尼对称系统。从各个位置取样本数据型矩阵，是位移样本数据的个数，速度矩阵，可以通过有限差分技术计算，定义并且这个操作数为d。速度矩阵v可以和位移矩阵联系起来，把x近似看做 [40]。
矩阵d的形式取决于有限差分的类型。各种各样的差分方法和操作数见参考文献[42]。所以矩阵v是一个取决于差分方法的型矩阵。
举个例子说明，如果有限差分目标只与两种连续数有关，那么。
通过消除x样本中与有限差分不一致的数据，x 矩阵可以简化为矩阵v。举个例子说明，在所提及的例子中，可以消除矩阵x的最后一行。那么矩阵r和s可以定义为[41]
如果所有位置的位移在时域平均值上均为零，矩阵r就是位移矩阵x的协方差。用上述的相关矩阵r和s ，sod方法的特征值定义为。
其中，λ是其特征值，ψ是一致的特征向量。为了获得上面的等式，chelidze和周构建了一个极大方差问题，然后，将它应用到rayleigh等式问题上，最后通过一些数学处理方法，他们获得了等式（3）[40]。等式（3）可以表示为下述矩阵形式：
其中，λ是系统对角矩阵的特征值，ψ是特征向量。
为了将由sod 方法获得的特征值和特征向量和系统的模态参数作比较，而系统的模态参数可以由解决结构特征值问题而精确地获得，对一个非阻尼离散系统，它的运动方程可以由矩阵形式表示为。
其中，x是位移矢量，m和k分别是质量矩阵和刚度矩阵，并且假设它们都是对称的矩阵。上面的等式引出了下述关于特征值的问题：
其中，ω是固有频率，是与其一致的特征向量。等式（6）可以写成下述矩阵形式：
其中，是对角矩阵，并且包含固有频率的平方值，列矩阵是模态向量。
由参考文献[40,41]可知：
因此，对于非阻尼系统，模态参数可以通过解决相符合的sod特征值问题获得。
3.自激励系统的光滑正交分解。
非阻尼系统在受力振动下的运动方程为。
其中，f(t)是一个维激励向量。如果矩阵和矩阵f和第2部分一样定义，那么可以将等式写成下述形式[41]：
该等式的研究证明见参考文献[40]
为了使表述更清楚，可以运用单一目标有限差分法粗略估计速度和加速度矩阵，即等式（13）和（14）：
由等式（13）和，矩阵d一定可以写成下述形式：
因此：右乘x并且对所得矩阵进行转置，在等式（14）中包含一个元素为的矩阵，并且是负矩阵。
由自激励和分析等式（11）、（12），feeny得出结论，如果在一个非阻尼振动系统中，输入和输出的互相关性由于无时间差而消失，那么系统的模态参数可以用等式（1）-(4)估算。输出和输入之间的相互关系可以定义为。
根据互相关定义和平均位移时间为零的条件，当第j行的输入与第i行的输入相互独立时，的值为零。feeny认为，通过测量系统输出和建立协方差矩阵r和s，可以通过解决等式（4）[41]的特征值问题来估算系统的模态参数。
一个振动系统输入和输出的互相关特性可以通过下述矩阵l来表示：
feeny还认为如果如果系统的输入是白噪声的，那么在下述两种情形下矩阵l为零矩阵，并且等式（8）和等式（9）也是有意义的。这两种情形分别是：
1） 不同位置的输入是相互独立的。
2） 若当所有位置的随机输入是给定自激励函数的倍数时，如。
其中，是自激励函数，是在第j个位置的激励，是恒定值。
除了以上两种情形，在许多实际案例中，系统的一些位置受到相互独立的自激励的影响，其他位置受到任意时滞的自激励组合的影响。在这项研究中，首先，sod方法被引入到前文提到的振动系统中，然后，sod方法发展到获得一个具体振动系统的模态参数的样例中，如在不平的路面上行驶的汽车悬架系统，在该悬架系统中，其中两个位置（后轮）受到与前轮一样的随机激励（白噪声），该激励是通过一定时滞后作用到后轮上的。
4.一些位置受到独立白噪声激励，另外一些位置受到与白噪声无关的任意时移函数的线性组合激励，研究光滑正交分解的方法在这些系统中的适用性情况。
假设一个有n个自由度的振动系统，其中p个输入与白噪声无关。然后，认为p个输入的每个输入为，并且每个输入是随时间变化的，随后建立第i个独立输入。那么，独立输入和非独立输入可以定义为：
其中，p是独立输入的个数，和是随机的任意恒定值。假设1≦p≦n-1,当p=n时，所有输入都是独立的，这就构成了feeny介绍的第一种情形。同样地，当p=1，时，就是第二种情形。
等式(20)可以推广到定义一般形式的输入，包括独立输入和非独立输入：
其中，另一方面，由参考文献[43]可知，一个n自由度振动系统的输出为：
其中，是与第ο个输入和第i输出相关的单位脉冲响应函数。
由等式（21）和等式（23），第i个输出和第j个输入的互相关性可以写成：
其中，是当时间变化为σ时，第ο个输入和第i个输入之间的互相关性。由等式（21）并进行化简，可以通过下式获得。
当时，那么：
如果独立输入是白噪声，如：
那么，将等式（27）代入等式（26）并结合等式（22），可以获得一般形式的。
将等式（28）代入等式（24）：
在两种情形下后者可以简化：（i）想要找出独立输入和输出之间的互相关性。（ii）想要找出独立输入和输出之间的互相关性。在这两种情形下可以将等式不是为下述数学形式：
很明显，当t≦0时，系统的单位脉冲响应为零，所以，在等式（30a）中，。同样地，在一个阻尼系统中，随着时间的推移，系统的单位脉冲响应渐变为零。因此，为了使等式（30b）右边的第一部分等于零，时间变化量，必然时间持续值，该值为。
为了使等式（30b）右边的第二部分等于零，一定为零。如果时间变化量和之间的差值可以由表示，当在中没有出现时，等式（30b）第二部分为零。
所以，一般来说，为了使矩阵l为零矩阵，时间变化量的大小和时间变化量的差值的绝对值一定等于零或大于一些特征值，这些特征值取决于使振动系统的单位脉冲响应达到零的快慢。
可以看出，对于系统输入来说，feeny 所说的两种情形是下述假定输入的特殊情况，所以sod方法可以适用于一般情形当中。
在下个部分，可以运用sod方法去获得某辆车的模态参数。
5．用光滑正交分解去估算车辆悬架系统的模态参数。
如图1所示，这是度的车辆悬架系统。在图中，m表示车身质量，和分别表示去掉弹簧的前轴和后轴的质量。k示刚度，c是阻尼系数。下标f和r分别前和后，t表示轮胎。
位移矢量可以表示为。
其中， 和θ分别表示弹力，侧倾角，车身前后倾角。表示各个车轮的垂直位移。系统的运动方程可以表示为：
其中，m，c和k分别是车身质量矩阵，阻尼系数矩阵和刚度矩阵，由参考文献[44]获得。同样地，激励矢量f定义为。
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