数学（08级）《多元统计分析》结课作业。
1主成分分析法原理。
一般来说，多指标综合评价方法的权重系数的确定有很多，通常有层次分析法(ahp)、
德尔菲法（delphi）、模糊聚类法、熵权法等。这些方法对指标权重的确定存在着不少主观。
随意性，每种方法都有着各自的适用范围，一般如果样本数据不全，则采用层次分析法和德。
尔菲法，采用层次分析法赋权的可信度优于德尔菲法；若样本中含有大量的模糊数据，且同。
一层次指标个数较多，应先采用模糊聚类分析方法，再采用层次分析法分别做各个子类的权重；如果样本数据比较完整，则应采用熵权法[1]。采用层次分析法(ahp)、德尔菲法（delphi）来确定各个指标的权重，这类方法人们研究的比较早，现在发展的比较成熟，要想在其中创新就需要更深入的研究。
主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
3]。主成分分析法是一种数学变换的方法，它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组。
不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。在数学变换中保持变量的总方。
差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一。
变量不相关，称为第二主成分。依次类推，n 个变量就有n 个主成分[4]。目前国外内学者对。
于主成分分析法的研究一般都是采用主成分分析法降维的思想，或者是用来做方案的比选，很少有学者用主成分分析法来对指标进行赋权。主成分分析法的思想对多个指标按贡献率进。
行排序，得出第一主成分、第二主成分…,第一主成分对于整个项目影响的程度最大，第二。
主成分对整个项目的影响其次，依此类推。通过指标的贡献率，刚好可以达到指标权重赋值的目的。具体计算步骤如下：
2主成分分析模型。
设有 m 个地区的 n 个评价指标组。
原始样本点×变量型数据资料阵。其中。
步骤1 :原始数据的预处理。
评价中确定的各个指标，往往有不同的量纲、 不同的数量级，而不同量纲、 不同数量级的数据不能放在一起直接进行比较，也不能直接用于多元统计分析，需要对指标的数值进行标准化处理，以消除其量纲、 数量级上的差异，使其具有可比性。数据进行变换处理包括两个步骤：首先对数据进行中心化 ,然后用标准差进行标准化。
步骤2 :求取指标间的相关系数矩阵。
原始变量与主成分之间的相关系数。
步骤3 :主成分分析。
根据相关系数矩阵r，求出r的特征根及相应的单位特征向量。
第 p 个主成分的贡献率为。
累计贡献率。
写出主成分。
步骤4 :根据主成分结果分析得出结果。
3 现在对各国男子竞赛进行主成分分析。
下表是来自iaaf/ates track and field statistics handbook for the helsinki 2005 of ott**io castellini的数据，我们为了得出男子竞赛中哪项指标起的作用比较大进行主成分分析。
男子竞赛国家和地区记录。
3.1对出事矩阵进行标准化建立变量的协方差矩阵。
r=corrcoef(x).=
3.2计算主成份的方差贡献率和累计方差贡献率。
3.3选取主成分。
根据方差贡献率和累计方差贡献率选取前三个为主成分。各指标的相关系数矩阵为。
pcacov =
由矩阵可以看出第一主成分为200m（sm(minm（minm（sm（s）、马拉松（min）；第一主成分的系数为.3832。
第二主成分为100m(s)；第二主成分系数为-0.9502
第三主成份为400m（s），第三主成分系数为-0.8955
3.4用y1、y2、y3分别表示主成分，x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8分别表示100m（sm（sm（sm（minm（minm（minm（min）、马拉松（min）从而得到三个主成分表达式。
y1=0.3718 x2+0.3693x4+0.3921x5+0.3894x6+0.3866x7+0.3832x8
y2=0.8426x8;
y3=-0.8426x1。
采用引资加权总和计算男子竞赛的综合评价值，并以各主成分的方差贡献率确定其权重，计算公式为y=-0.9502y1-0.0631y2+0.0028y3
国家综合得分。
阿根廷72.6612
澳大利亚71.2992
奥地利73.2742
比利时70.0373
百慕大79.3188
巴西71.1255
加拿大72.3756
智利73.5616
中国72.5247
哥伦比亚73.3874
库克群岛91.8823
哥斯达黎加74.6658
捷克73.3442
丹麦72.6432
多米尼加共和国79.1174
芬兰72.9704
法国70.9375
德国71.5801
英国71.0640
希腊73.3785
4结果分析：
由结果可知库克群岛国家男子竞赛第一，分数为91.8823，百慕大国家男子竞赛第二，分数为79.3188，多米尼加共和国国家男子竞赛第二，分数为79.1174。
参考文献。1】张小燕，傅晓琴，应用概率统计，广西师范大学出版社 1994.335～353
2】张庭，方开泰，多元统计分析引论，北京，科学出版社，1982.322～330
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