《大学生数学竞赛》2023年度培训通知

关于 2023年度“大学生数学竞赛”培训工作的通知。

2023年度，将先后举行“第十三届江苏省普通高校高等数学竞赛”（江苏省教育厅主办）以及“第七届全国大学生数学竞赛”（中国数学会主办），为更好地组织我校同学参加比赛、获得优异成绩，将于本学期第十四周开始，每周四晚上举行培训课，欢迎大一同学踊跃参加。

本学期培训安排如下：日期。

时间地点内容 12月3日（第十四周周四）

18：30-21：00 4102 极限与连续 12月10日（第十五周周四）

导数与微分 12月17日（第十六周周四）

不定积分与定积分 12月24日（第十七周周四）

等式与不等式证明。

附：培训课内容简介 1、极限与连续。

数列极限的性质与相关定理——唯一性、有界性、保号性与保序性、四则运算性、迫敛性、子列收敛性、单调有界准则、cauchy 收敛准则、stolz 公式、平均收敛定理。

函数极限的性质与相关定理——唯一性、局部有界性、局部保号性与局部保序性、四则运算性、迫敛性、单调有界准则、cauchy 收敛准则、等价无穷小代换、罗必达法则、peano 型余项taylor 公式。 ◆函数的连续、间断与渐近线，有界闭区间连续函数的性质。

2、导数与微分。

导数与微分的定义与性质——导数与微分的实质、左导数和右导数、可导与连续、闭区间[,]a b 可导的定义、导数极限定理、导函数介值定理（darboux 定理）、(f x 、(f x 与2()f x 可导的关系、可导与不可导函数运算之后的可导性、微分的形式不变性。

求导函数的主要方法——利用定义、四则运算法则以及求n 阶导数的莱布尼茨公式、

复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法、参数方程求导公式、极坐标函数求导法、变限积分求导公式、含参量积分求导公式、求高阶导数的主要方法（利用代数恒等变形、莱布尼茨公式、幂级数展开式的唯一性）. 单调性、极值、最值、函数的凸性与拐点、切线与法线、曲率、曲率半径、曲率圆。

3、不定积分与定积分。

定积分的定义与可积性判定，定积分的性质——线性、乘法封闭性、区间可加性、不等式性质。

定积分与不定积分的关系——微积分基本定理（原函数存在定理）、微积分基本公式（牛顿莱布尼茨公式）、可积与有原函数的关系（即定积分存在与不定积分存在的关系）

积分的计算方法——第一换元法（凑微分）、第二换元法（三角变换、双曲变换、倒代换、指数与对数代换）、分部积分法、利用分部积分建立积分递推式、有理式的积分、三角有理式的积分、无理式的积分、指数有理式或指数无理式的积分、定积分换元法（利用奇偶性与周期性）、引入参变量求定积分。

广义积分及其收敛性判定——无穷积分的收敛性判定（定义、cauchy 收敛准则、比较判别法、比较判别法的极限形式、cauchy 判别法、abel ‐dirichlet 判别法），瑕积分的收敛性判定（仅说明cauchy 、abel ‐dirichlet 判别法，其余与无穷积分相似）.

积分的应用——曲线的弧长、平面图形的面积、利用定积分求体积、旋转曲面的面积（旋转体的侧面积）、古鲁金定理、积分的物理应用（微元法）.

4、等式与不等式证明。

理论基础——极限与连续函数的性质、微分中值定理与微分不等式、定积分性质与积分中值定理。 ◆等式证明的方法——归结为函数零点的存在性、中值定理及泰勒展开、针对积分等式与恒等式的证明。 ◆不等式证明的方法——单调性、凸不等式、中值定理及泰勒展开、利用积分性质或积分中值定理证明积分不等式。