养老金制度数学模型。
摘要。养老保险管理是当今社会的一个热点问题，它关系到社会稳定和老龄化社会顺利过渡。本文讨论的是企业退休职工养老金问题。
通过对养老金、基础养老金、个人账户养老金、个人账户储存额、计发月数、全省上年度在岗职工月平均工资、本人指数化月平均缴费工资、缴费年限、本人平均缴费指数等之间的关系系统分析后，我们共建立了四个数学模型解决了企业退休职工养老金问题。
对于问题（一），采用了拟合方法，首先建立了模型ⅰ；然后对模型ⅰ进行改进，采用微分方程法，建立了模型ⅱ，。
对于问题（二），利用matlab软件和附件3中的计算公式对数据进行处理，建立了模型ⅲ，得到了该企业职工自2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁、60岁和65岁情况下的养老金替代率分别为.628%；自2023年起从40岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁、60岁和65岁情况下的养老金替代率分别为.717% 。
对于问题（三），主要根据附件3中的计算公式，建立了模型ⅳ，计算出了该企业某职工自 2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁和60岁，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡的情况下，分别于2023年、2023年出现养老保险**的缺口情况，同时得出该职工领取养老金分别到66岁、75岁时，其缴存的养老保险**与其领取的养老金之间达到收支平衡；自 2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到65岁，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡的情况下，都不会出现养老保险**的缺口情况。
对于问题（四），如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险**收支平衡，可以采取：(1)**应对贫穷地区更多的照顾；（2）适当调整基础养老金；（3）**应加强对社会养老保险**的监管；（4）扩大征缴费源实现统筹**账户的收支平衡；（5）做实个人账户；（6）做好养老保险**的保值增值；（7）提高我国职工法定退休年龄等措施。
最后，我们对模型进行了评价、改进与推广。
关键词：养老金代替率拟合微分方程 matlab软件
问题重述。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹**账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险**。
退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。
个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
养老保险管理的一个重要的目标是养老保险**的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险**收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。
按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险**收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险**收支平衡较难维持，可能出现缺口。
所谓缺口，是指当养老保险**入不敷出时出现的收支之差。
再建立数学模型，解决如下问题：
问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，**从2023年至2023年的山东省职工的年平均工资。
问题二：根据附件2计算2023年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2023年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题三：假设该企业某职工自 2023年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险**的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险**与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险**收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。
问题分析。问题（一）：
我们对资本、劳动力、企业家精神、科学技术、管理制度、gdp、消费情况等对未来我国经济发展有影响的因素进行大胆的假设。
然后使用matlab软件画出历史数据的散点图，数据应该呈现类似二次函数形势的增长趋势。再做三次拟合，将得到的拟合曲线和真实数据比较，建立模型ⅰ。再用微分方程建立模型ⅱ，模型ⅱ是对模型ⅰ的改进。
问题（二）：
该问题有一词“代替率”是该问题的关键字眼，我们要计算的也就是养老金的代替率；因此，我们从代替率、养老金、基础养老金、个人账户养老金、个人账户储存额、计发月数、全省上年度在岗职工月平均工资、本人指数化月平均缴费工资、缴费年限、本人平均缴费指数之间的关系求解代替率，利用以下公式来解题：
1． 养老金 = 基础养老金 +个人账户养老金；
2． 个人账户养老金 =个人账户储存额 /计发月数；
4． 本人指数化月平均缴费工资 = 全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数；
5． 本人指数化月平均缴费工资：
．替代率 = 职工刚退休时养老金/退休前工资。
然后，运用以上公式分别求出从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），求各种情况下的养老金替代率。
问题（三）：
该问题要解决的是缴存的养老保险**与其领取的养老金之间达到收支平衡的问题。运用附件三中的计算公式，推算出养老金替代率，并分析其收支平衡问题。
问题（四）：
因为该问题要求既要达到目标替代率，又要维持养老保险**收支平衡，所以我们充分考虑我国的国情，并参考国外发达国家的相关政策，提出应采取的措施。
问题假设。1) 假设文中所有数据可靠；
2) 假设附件“养老金的计算办法”的公式可以独立应用，不受社会其他因素影响；
3) 假设中国经济发展不会出现负增长；
4) 假设附件2中的各段月收入均取其中位数；
5) 假设2023年的30岁的职工的工资收入由35—39岁职工的平均工资代替；
6) 假设 2023年的40岁的职工的工资收入由45—49岁职工的平均工资代替；
7) 假设职工从工作起会一直工作到退休；
8) 假设职工只会年底退休；
9) 假设职工死亡时在年底；
10) 假设职工养老金每年都会一直发到年底，即职工都会把每年当年的养老金领完，并且会一直到领取到死亡；
11) 假设国家不对经济做强制干预，即不会过大控制经济的发展；
符号说明。1) a全省上年度在岗职工月平均工资。
2) b本人指数化月平均缴费工资。
3) c计发月数。
4) d本人平均缴费指数。
5) e缴费年限。
6) f个人账户储存额。
7) r工资增长率。
8) t时刻。
9) x人口。
10最大工资。
11) z替代率。
12) a退休前的工资。
13) b刚退休时的养老金。
14) c基础养老金。
15) d个人账户养老金。
16) e养老金。
17时刻时刻人口为。
18时刻的工资。
模型建立与求解。
问题（一）首先假设：
假设（1）中国经济发展会持续稳定增长，不会出现大幅波动，工资增长率与经济增长率同步；
假设（2）今后社会经济不会出现通货膨胀；
假设（3）货币不会出现贬值（升值）；
假设（4）国家不会对经济做强制干预。
模型ⅰ：根据1978至2023年的职工平均工资，**从2023年至2023年的山东省职工的年平均工资。运用matlab软件画出历史数据的散点图1-1所示（由附表1-1编程得出），将得到的拟合曲线与真实数据比较如图1-2所示（由附表1-2编程得出。
并得出相应的三次拟合函数式如下所示，其中自变量表示年份，y表示年平均。
工资。该三次拟合的平方误差为0.3226，将需要**的年份2023年至2023年作为自变量代入上述函数中，便可得到相应年份的**数据，如表1-1所示：
表1-1 2011——2023年山东省职工的年平均工资。
由于，该模型ⅰ的结果是：工资将以指数规律无限增长。而事实上，随着经济的发展，自然资源、环境条件、社会供给等因素对工资增长的限制作用越来越显著。
如果将较早时工资的增长率看作常数的话，那么当时间增加到一定大以后，这个增长率就要随着时间增加而减小。于是应该对指数增长模型关于工资增长率是常数的假设进行修改。由此，我们改进了模型ⅰ，利用微分方程法建立了阻滞模型——模型ⅱ。
模型ⅱ：设工资增长率为，记时刻时刻人口为，时刻的工资，由于量大，可视为连续，可微函数到时间内工资的增量为：
于是满足微分方程：
解微分方程（1）得：
得知时， 提出符号假设定义：
a）.工资增长率为工资的函数，简单假定，就为固有增长率。
b）.最大的工资增为。
当时，增长率应为0，即于是代入，得：
将（3）代入（1）中得：
解得方程组（4）得：
利用附件1中1978——2023年的数据进行拟合，可得结果为：
将其代入式（5）中，求出阻滞增长模型**的1990——2023年的年的平均工资，见表2-1。
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