中南民族大学2023年数学建模竞赛。
承诺书。我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的， 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从a/b中选择一项填写a
我们的参赛报名号为（报名系统设置的报名组号39
所属学院（请填写完整的全名数学与统计学学院。
参赛队员 (打印并签名) ：1.姓名秦文钊
2.姓名林豪
3.姓名冯荣新
日期： 2010 年 04 月 26 日。
评阅编号：中南民族大学2023年数学建模竞赛。
编号专用页。
评阅编号：评阅记录：
摘要。本文首先分析影响演出安排的因素，确定出影响公司和剧团利益的主要因素有三个，即：加盟剧团数目、剧团演出场数、剧团演出安排路线（可用剧团演出总路程及等待演出时间表示）。
在模型建立的过程中，首先定义了公司费用支出函数，接着采取分治思想，合理分析剧团每轮的演出天数和演出次数，确定出加盟剧团数，并运用多目标动态规划和倒推算法求出了距离最短的行程路线。
**路安排模型的基础上我们分析了等待时间此因素，最终建立了符合约束条件：每家剧场每天均需安排一场演出、同一剧团不能在同一剧场多轮演出、同一剧团在同城的两家剧场演出时间间隔需不小于45天的合理方案，并利用钟盘原理具体的规划了每个加盟剧团的行程路线。
为了进一步说明此模型的合理性，我们量化了影响因素，利用隶属函数确定主要影响因素的权值，给出了一个利弊评价指标--利弊指数，并利用计算按路线演出时各剧团的利弊指数值，从得到的结果看每个剧团的利弊指数相差不大，即对所有的剧团来说基本是公平的，从而总体上此模型对公司和剧团来说是双赢的。
通过仔细分析各种因素以及公司总的用度支出，我们给出了公司剧场长期演出的安排方案，并撰写了一份公司前6个月内剧场演出安排方案供经理参考。
针对热门问题，我们推广了模型中的思路与方案，并分析了各种突发情况，如：某剧团因故不能完成剩余演出，某剧团的节目不适合在某城市演出，某剧场另有专项演出任务等，我们针对不同的城市，给出了不同的应急预案。
关键字：多目标动态规划钟盘原理倒推算法
一、 问题重述。
公司旗下有11家剧场，分别是山东青岛1家，江苏无锡2家，江苏扬州1家，浙江嘉兴1家，浙江杭州2家，浙江温州1家，浙江衢州1家，浙江东阳1家，浙江绍兴1家。每个剧场每天均需有一个剧团演出一场，每个剧团每轮（在一个剧场连续不间断的演出）都有一个上限，分别为：青岛14天，扬州7天，无锡14天，嘉兴7天，杭州14天，绍兴7天，东阳7天，衢州7天，温州7天。
每个剧团可在不同城市之间巡回演出且在每个剧场至多演出1轮，且在同城的不同剧场的演出时间间隔不小于45天，即某个剧团在无锡或杭州的两家剧场的前后演出时间间隔（前次离开到下次重来）需不小于45天。
公司财务有三项支出：
1）对加盟的剧团都需支付一笔固定的费用。
（2）依据每个剧团演出场次的不同需向剧团支付不同的费用。
（3）公司还需提供每个剧团在不同城市间往来的交通费用。
其中（1）、（2）项所用费用占的比例较大。
另对于每个加盟的剧团都希望演出较多的场次，每个剧团各轮演出的时间间隔不能太大，各个城市间的往来路线安排也尽量合理。
问题：1）为公司制定一个关于这11家剧场的演出团长期安排方案，使公司的财务用度尽可能少，方案切实可行，便于管理操作，且公司和剧团能实现合作双赢。
2）为公司经理拟一份小于2页的方案简要说明，并附有一份简明直观前6个月的方案安排。
3）将模型推广到更一般的情形。说明你的应急预案，如某剧团因故不能完成剩余的演出，某剧团的节目不适合在某城演出，某剧场另有专项演出任务等。
二、 符号说明。
公司在整个活动中所需的总费用（元）
公司需支付的总加盟费（元）
公司需支付的总演出费（元）
公司需支付的总交通费（元）
半年时间演出总天数即182（天）
剧团的整个加盟期内的演出场数。
所加盟的剧团的数量。
公司付给一个剧团一次的加盟费（元）
公司付给剧团每演出一场的演出费（元）
一个剧团走过单位距离的交通费（元）
第个剧团每轮演出天数。
同一批加盟的剧团加盟期内的凭据等待时间。
第条路线的长度（km）
三、 基本假设。
1、 假设每个剧团在每个剧场演出时演出效果以及观众的上座率是一样的；
2、 假设每个剧团都能按时到达演出地点完成演出任务；
3、 假设公司给每个剧团的加盟费一样；
4、 假设公司给剧团每场的演出费相同；
5、 假设所有剧团的剧目适合在所有城市演出。
四、 问题分析。
1、 第一问要求我们建立一个模型，使之能够清晰地描述出与公司加盟的剧团的演出日程，使公司的财务支出最小且每个剧团都能获得较多的演出次数。公司支付的加盟费与加盟的剧团数成正比，因而从此角度考虑可尽量减少加盟的演出团，且不同城市的演出时间长短差异会增加整体演出日程安排的复杂性，应尽量避免；公司付给剧团总的演出费与总的演出场数成正比；公司所承担的交通费与各个剧团往来的路线以及交通方式有关，需要根据图论的知识并考虑交通费用尽量少的前提下设计出针对每个剧团的行止方案。
2、 第二问要我们为公司经理提供一份清晰明了的前6个月剧团演出日程安排，需要在第一问的基础上求出具体的结果并拟定一份具体的方案。
3、 第三问要求我们在前两问的基础上结合实际情况，主要针对某个剧团不能按时完成演出任务，某些节目不适合在某城市演出，以及剧场临时专场演出等情况而制定一份应急预案。
五、 模型的建立与求解。
1、 公司费用支出。
由题目知，公司所需支付的各类费用由如下关系：
其中是公司所需支付的总加盟费，是公司需支付总演出费，是公司所需支付的总交通费。
为简化模型，我们假设公司付给每个剧团的的加盟费均相同，则。
其中是所加盟的剧团的数量，是公司付给一个剧团一次的加盟费；
我们假设每个剧团在每个剧院演出时演出效果和观众的上座率是一样的，在不考虑演出团的知名度等因素情况下，我们也假设公司付给每个剧团每场得演出费也相同，则。
其中是第个剧团的整个加盟期内的演出场数，是公司付给剧团每演出一场的演出费；
由于与具体的路线设计有关，我们会在后文给出答案。
2、确定加盟的剧团数目。
公司所支付的加盟费与加盟剧团的数量成正比，因此每个剧团在每个剧场演出时尽可能的多演出可以使剧团的数量减到最少，这对公司和剧团都是有益的。因此假设每个剧团在每个城市演出时都达到该城市的演出时间上限，对于青岛，无锡，杭州3个城市五个剧场的演出时间上限是14天，其余的6个城市六个剧场的演出时间上限皆是7天，就假设剧团在青岛，无锡，杭州的演出时间是14天，在其余六个城市的演出时间均为7天。
为了简化分析，我们先不考虑每个剧团在不同城市间往来所耗费的时间，并假设每个剧团都能按时到达指定剧场完成演出任务。
以6个月（取182天）为例，11家演出团每天均需一场演出，因此总共需演出的场次为。
11182=2002场，而青岛，无锡，杭州3个城市的5家剧场在半年182天的时间内接待的剧团数量。
18214=13，而这些剧团和公司都希望多演出，假设每个剧团都去其余6个城市的每个剧场巡回演出，则其余这6家剧场在182天内的实际演出场数。
137=91场，还有91天的空闲时间，还需要13个剧团来这些城市演出，而这新来的13家剧团要等到下半年才能到青岛，无锡，杭州这三个城市去演出，与此同时，下半年嘉兴，扬州，绍兴，衢州，温州，东阳六个城市需要的剧团数目。
这26个剧团在青岛，无锡，杭州的巡回演出将排到下一年。
现在用下面两个表分别举例说明，虽然由表可以看出表中城市的先后顺序实际上就是剧团演出的先后顺序，但下列2两个表只是为了说明剧团等待的时间的增加，故表中的城市先后顺序对之并无影响。
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