期末复习6：记数原理-1
知识要点〗一．两个基本原理：
1．加法原理：分类相加．
2．乘法原理：分步相乘．
二．排列、组合：
1．排列的概念．排列数公式：；
特别地：，规定：．关键词：有序．
2、组合的概念．组合数公式：．
组合数的性质：（1）；（2）；（3）规定：．
关键词：无序．
典例解析〗1）位置与元素。
例1. ①4名学生到3所大学就读，共有种不同结果。
上题中，若每所大学至少一人，共有种不同结果。
2）相邻问题---**法：．
3）相间问题---插空法：
4）特殊元素（位置）--优先法：
5）定序问题缩倍法。
例2．7人站一排， 甲乙丙恰有两人相邻，共有种不同站法。
甲不站两边，丙不站中间，共有种不同站法。
甲在乙左边，丙在乙右边，共有种不同站法。
6）混合问题“先选后排法”：
例3.有10个实习生分配到8个班，每班至少一个，有多少种不同分法？
方案：先分堆，再分配。
7）相同元素问题---隔板法”
例4．有10个三好生指标分给8个班，每班至少一个，有多少种不同分法？
分析：法① 分两类： 3-1-1-…-1分配与2-2-1-…-1分配：
法② 隔板法：
与例3比较： 差别：不同元素。
两类相同元素问题。
例5．某城市的交通道路如图，从城市的东南角a到城市的西北角b，不经过十字道路维修处c，最近的走法种数有。
8）涂色问题。
例6．(2008全国理)如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
a．96b．84c．60d．48
9）间接法：至多至少排除法。
例7. (2008湖北文、理)从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（ ）
a.100b.110c.120d.180
10）配对原则。
例8．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（ ）
abcd．正方体的顶点两两相连，共能连成条不同的条直线；
这些直线两两之间可以构成对异面直线。
11）公式变换。
例9.(2008上海理)组合数恒等于（ ）
a． b． c． d．
12）列举法。
例10．①编号为1,2,3的三个小球放在编号为1,2,3的三个桶内，要求小球与桶的编号不能相同，共有种不同放法。
若为4个小球与4个桶呢？
若为5个小球与5个桶呢？
课后训练〗1．若为正整数，则乘积。
a． b． cd．
2．若直线的系数同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值，则这些方程表示不同的直线条数。
a．22b．30c．12d．15
3．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有。
a．12种b．18种c．24种d．96种。
4.由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有（ ）
a．72b．60c．48d．52
5. 3名男生与3名女生站在一排，如果要求男女生相间站，那么站法有。
a．36种b．72种 c．108种d．144种。
6. 若，则的值为。
a．4b．7c．4或7d．不存在。
7．从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有 （
a、种 b、种 c、种 d、
8．甲、乙、丙三个人负责一个计算机房周一至周六的值班工作，每天1人，每人值班2天。如果甲同学不排周一，乙同学不排值周六，则可以排出不同的值班表有。
a、36种b、42种c、50种d、72种。
9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是。
abcd、10．四面体的顶点和各棱中点共10个点， 在其中取4个不共面的点， 则不同的取法共有。
a． 150种b． 147种c． 144种d． 141种。
11．(2008四川理) 从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )
（ａ）种种种种。
12．(2008天津理)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有( )
a) 1344种 (b) 1248种 (c) 1056种 (d) 960种。
13．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为。
14．某市a有四个郊县b．c．d．e．（如图）,现有5种颜色，若要使每相邻的两块涂不同颜色，且每块只涂一种颜色，问有种不同的涂色方法．
15．4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名教师，则不同的分配方案有种．
16．10个外表相同的小球，要求放到6个箱子里，每个箱子至少一个小球，则有种不同的放法；如果只需把球放到箱子里就完成任务，则有种不同放法。
17．某次演出有7个已经排好的节目，现有3个新节目要临时插进来，且不改变原先节目的先后顺序，则不同的安排方法有种．
18．方程x+y+z=10有组正整数解。
19．用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一个数列，则1230是这个数列的第项。
20．从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率：
1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；（2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的。
21．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：
1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出1个白球；（3）至少摸出1个黑球。
22、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内。
1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
期末复习7：记数原理-1答案：
典例解析〗例1. ①先分堆，再分配。
例2例3. 方案：先分堆，再分配。
分两类 3-1-1---1分配与2-2-1---1分配：
7）相同元素问题---隔板法”
例4．分析：法①分两类 3-1-1---1分配与2-2-1---1分配：
法②分隔法：1111111111十个1之间9个空隙，插进7个隔板，分成8个部分，
比较：有10个实习生分配到8个班，每班至少一个，有多少种不同分法？
差别：不同元素。
方案：先分堆，再分配。
分两类 3-1-1-1分配与2-2-1-1分配： +
两类相同元素问题。
例5．分析：如无限制时有，而经过点c的分两步：
有，则不过点c的有种。
8）涂色问题。
例6．选b。分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；
种四种花有种种法。共有。
另解：按顺序种花，可分同色与不同色有。
9）间接法：至多至少排除法。
例7. b10）配对原则。
例8．【即四点不共面四点共面】选d
正方体的顶点两两相连，共能连成条不同的条直线；
这些直线两两之间可以构成对异面直线。【三棱锥的个数×3】
11）公式变换。
例9. d． c
12）列举法。
例10．①2 ②9 ③44
课后训练〗dcbbb cdbcd cb
11．选c【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法
突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；
12．选b解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法。然后确定其余4个数字的排法数。
用总数去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有种排法。所以此时余下的这4个数字共有种方法．由乘法原理可知共有种不同的排法，选b．
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