单服务窗混合制排队模型**研究。
0 引言。众所周知，某些资源、设备或者空间的有限性及社会各部门对它们的过大需求是存在排队现象的主要因素，而诸如服务机构的管理水平低劣，服务窗效率低等也往往会使不该有的排队现象出现。
我们所讨论的排队论是人们研究大量服务过程的一门数学理论。在社会生活中碰到的排队现象，诸如到到商场去购物，去图书馆借书，汽车到加油站加油，船舶停靠码头，在公共**亭打**等均可以归结为顾客与服务窗之间的一种服务关系。
1 排队论的基础知识。
排队论是运筹学的一个分支，又称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。它起源于的著名**《概率与**通话理论》。
一般排队系统有三个基本部分组成：
1）输入过程：
输入过程是对顾客到达系统的一种描述。顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。
2）排队规则：
排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。排队规则可以分为3种制式：
a 损失制系统---顾客到达服务系统时，如果系统中的所有服务窗均被占用，则顾客即时离去，不参与排队，因为这种服务机制会失掉许多顾客，故称损失制系统；
b 等待制系统---顾客到达服务系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用，于是到达系统的顾客按先后顺序进行排队等候服务。通常的服务规则有先到先服务，后到后服务、随机服务、优先服务等；
c 混合制系统---它是损失制与等待制混合组成的排队系统。顾客到达服务系统时，若服务员都不空但有排队位置，就排队，如果服务员都不空且排队位置已满，顾客就立即离去。
3）服务窗。
a 系统可以无窗口、一个窗口或多个窗口为顾客进行服务；
b 在多个服务窗情形，顾客排队可以平行多队排列，串列或者并串同时存在的混合排队；
c 一个服务窗可以为单个顾客或成批顾客进行服务；
d 各窗口的服务时间可以为确定性或者随机型，服务时间往往假定是平稳的；
4）排队系统中的目标参量。
排队论中几个性能指标：系统中的平均排队长度lq，表示系统内排队等候顾客数的均值；顾客在系统中的平均等待时间wq，顾客在系统中的平均逗留时间ws，系统中的平均顾客数ls;
排队论中几个常用的数量指标：平均到达率λ，平均服务率μ，系统中并联服务台的数目s，服务台强度，即每个服务台单位时间间隔内的平均服务时间ρ，系统的稳态概率p0和繁忙概率p。
2 单服务窗混合制排队模型m/m/1/m
单服务窗混合制排队模型m/m/1/m，假设系统只有单个服务窗口，顾客到来的间隔时间服从负指数分布，参数为λ；服务时间是参数为μ的负指数分布；又设系统只有m个排队容量（又称m个截止队长）。当系统中已有m个顾客时，新来的顾客不再进入系统排队而立即离去另寻他处服务。这样，在任何情况下，排队长度均不会超过m，称这类系统为即时拒绝系统，根据上述，可以画出系统的状态流图，如下图所示。
3 单服务窗混合制排队模型m/m/1/m例题求解。
某自行车修理处只有一个修理工，营业时间为12小时，修理处内最多可停放7辆自行车，又自行车按平均每小时3辆的速率到修理处要求修理，而修理工平均修理一辆自行车需要15分钟。试求各相应的目标参量。
解：由题意可得：
m=7；λ=3人/小时； μ60÷15=4人/小时；ρ=于是：
0.0371； q=1-=0.9629； =2.887；
a==2.7815；辆。小时。
小时。4 建立**。
针对单服务窗混合制排队模型m/m/1/m，利用matlab平台对该模型进行**。
在**的过程中，首先设定达率λ和服务率μ以及队列截止长度，采用负指数分布函数exprnd ()生成服务时间；然后模拟顾客进入队列、等待、接受服务、离开队列整个过程（注意：首个顾客进入队列，无需等待，直接接受服务；一旦队列中的人数超过设定的最大值，则后面来的人不参与排队等待）；最后对整个过程中所产生的数据进行统计分析，并通过数字、图像直观的反映出整个**结果。
4.1 **的流程图如下图所示：
4.2 **图像截图：
截图1截图2
截图34.3 **数字截图：
截图44.4 分析比较：
在理论的计算过程中，我们通过理论计算得到了ls=2.11辆，ws=0.7304小时，wq=0.
4812小时 lt=0.25小时；在matlab**计算过程中，ls=2.25辆，wq=0.
016小时，ws=0.2335； lt=0.2194小时（平均服务时间）；两者计算数值的存在的差异可能来自于**时间不够大的原因；
5 结语。排队论是运筹学的一个重要分支，是人们研究大量服务过程的一门数学理论。本文首先主要讲述了排队论相关的基础理论知识，然后运用理论知识解答一个生活实例，最后通过matlab 平台实现了排队论中单服务台模型的过程**，并给出了**结果。
本方法适用于生活中的许多排队案例的分析，进行必要改进即可实现多服务模型的分析，可以为工程设计人员进行排队规划提供参考。
6 参考文献。
1] 陆传赉等﹒排队论[m]-北京邮电大学出版社 2009(01) ﹒
2] 邓秋玲，韦新星﹒泊松过程和排队论在银行排队问题中的研究[j]- 海南师范大学学报2014(03) ﹒
3] 李鹏，王珊珊﹒用matlab 实现排队过程的**[j]-编程语言 2009﹒
4] 葛哲学等，精通matlab[m]-电子工业出版社 2008﹒
7 附录。7.1 程序**。
单服务窗混合制排队模型m/m/1/m
定义四个变量
double ls ;%平均排队长度。
double lt ;%平均服务时间。
double wq ;%平均排队时间。
double ws ;%平均等待时间。
**时间（可以自行设置）
total_time = 12;
队列最大长度（可以自行设置）
n = 7;
到达率与服务率（由题目已知）
lambda = 3;%到达率。
mu = 4; %服务率。
平均到达时间与平均服务时间。
arr_mean = 1/lambda;
ser_mean = 1/mu;
理论上能到达的最大顾客数。
arr_num = round(total_time*lambda);
定义数据表并初始化。
events =
按负指数分布产生各顾客达到时间间隔。
events(1,:)exprnd(arr_mean,1,arr_num);%产生一个参数为arr_mean的1行，arr_num列的矩阵。
各顾客的到达时刻等于时间间隔的累积和。
events(1,:)cumsum(events(1,:)矩阵的列累加。
按负指数分布产生各顾客服务时间。
events(2,:)exprnd(ser_mean,1,arr_num);%产生一个参数为ser_mean的1行，arr_num列的矩阵。
计算**顾客个数，即到达时刻在**时间内的顾客数。
len_sim = sum(events(1,:)total_time);
计算第 1个顾客的信息。
第 1个顾客进入系统后直接接受服务，无需等待。
events(3,1) =0;
其离开时刻等于其到达时刻与服务时间之和。
events(4,1) =events(1,1)+events(2,1);
其肯定被系统接纳，此时系统内共有。
1个顾客，故标志位置1
events(5,1) =1;
其进入系统后，系统内已有成员序号为 1
member = 1];
for i = 2:arr_num
如果第 i个顾客的到达时间超过了**时间，则跳出循环。
if events(1,i)>total_time
break;
else%到达时，number为系统中排队的顾客数。
number = sum(events(4,member) >events(1,i));
如果系统已满，则系统拒绝第 i个顾客，其标志位置 0
if number >=n+1
events(5,i) =0;
如果系统为空，则第 i个顾客直接接受服务。
elseif number ==0
其等待时间为 0
events(3,i) =0;
其离开时刻等于到达时刻与服务时间之和。
events(4,i) =events(1,i)+events(2,i);
其标志位置 1
events(5,i) =1;
member = member,i];
如果系统有顾客正在接受服务，且系统等待队列未满，则第 i个顾客进入系统。
else len_mem = length(member);
其等待时间等于队列中前一个顾客的离开时刻减去其到达时刻。
events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i);
其离开时刻等于队列中前一个顾客的离开时刻加上其服务时间。
events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i);
标识位表示其进入系统后，系统内共有的顾客数。
events(5,i) =number+1;
member = member,i];
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