第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法。
学习小结。姓名胡梦晨班级信计131802 学号 201318030205
一、 本章学习体会。
本章最大的收获是学会怎么解非线性方程组。现在还没有解决的问题是，还不懂为什么有m重根的非线性方程与有单根的非线性方程所用的newton迭代公式为什么不同。
二、 本章知识梳理。
非线性方程的迭代解法：（五种）
1.对分法：利用根的存在性定理，不断缩小根的存在的区间。直到迭代得到一个极小的区间，则可得到近似根。
2.简单迭代法：将非线性方程化为等价方程 x=f(x) ，然后利用迭代公式xk+1=f(xk) 不断使x逼近方程的根。
其中，定义了收敛速度。即| xk+1 -s| /xk-s|r = c (c是一个常数)。
3. steffensen迭代法：用简单迭代法可以用xk 迭代出xk+1，然后用xk+1迭代出下一个，但这种迭代方式有点慢，利用微分中值定理可以得到一个式子，即 uk = xk – xk+1 -xk)^2 / xk+2 -2*xk+1 +xk) 。
uk比xk等都接近方程的根。用uk迭代可以更快的迭代到近似根。
法：利用迭代法的收敛速度的定义可推导出一个二阶收敛的迭代公式。即 xk+1=xk – f(xk) /f/(xk) 。
5.割线法：将newton迭代公式的导数用增量比代替，即可得到割线法的迭代公式。
几何意义就是用两个点的连线方程的零点的x值代替两个点中的一个，然后找到代替后的点的连线方程的零点。单点割线法就是固定其中的一个点。
非线性方程组的迭代解法：（两种）
1、简单迭代法：初值为一个列向量，将非线性方程组逐一化为关于xi的简单迭代公式。
迭代法：利用taylor公式，可以推导出迭代公式为xk+1=xk – f(xk) /f/(xk)。
三、 本章思考题。
newton迭代法在解决非线性方程组的问题时，计算出的近似解的缺点。
解：在newton迭代法的算法中，停止迭代的条件是增加量的范数比上近似值的范数小于一个极小的数。这个终止条件虽然能说明迭代值很接近精确值了，但是所要求解的毕竟是个方程组，还要考虑解对方程组每个方程的符合问题，例如，利用算法程序计算本章习题的第十一题，得到解是x=[ 1.
433533671382860；1.472348715395070 ]，精确度很高，而且只迭代了四次，速度很快。但是将解带入方程组中y=[x(1)-sin(x(1)+x(2))-1.
2;x(2)+cos(x(1)+x(2))-0.5]
[ -0.75706059207306 ; 0]，从中可以看出，newton得到的解能完全符合第二个方程，但对第一个方程符合的很不好。这就是newton迭代法计算出来的近似解的缺点、
四、 本章测验题。
编写newton 迭代法的程序，求sqrt（23）的精确值。
考察的知识点：
迭代法的应用。
2.编程能力。
解：源程序：
function[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=newtonxzl(x0,tol,ftol,gxmax)
if nargin==1
tol=0.0000001;
ftol=0.0000001;
gxmax=1000;
endx(1)=x0;
for i= 1:gxmax
u(i)=fnq(x(i))/dfnq(x(i));
du(i)=1-fnq(x(i))*ddfnq(x(i))/dfnq(x(i)))2+eps);
x(i+1)=x(i)-u(i)/du(i);
piancha=abs(x(i+1)-x(i));
xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);
i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));
if ((piancha k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));
i-1) piancha xdpiancha xk yk]
return
endend
disp('请注意，迭代次数超过最大跌打次数');
(i-1) piancha xdpiancha xk yk];
学习小结参考格式
第1章绪论。学习小结。姓名班级学号 小四，宋体，加粗 一 本章学习体会 小四，宋体，加粗 写出本章学习的最大收获点，尤其是思想方法，自己的困惑，难以解决的问题等。五号，宋体，1.5倍行距，首行缩进2字符 二 本章知识梳理 小四，宋体，加粗 可用目录或者框图的形式梳理知识点，有时可以做一些标注或说明，...
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