《工程数值分析》总结报告。
二○一二年十一月制。
1、非线性方程求根。
1.1 二分法的原理和算法。
1.1.1二分法的原理。
将函数f(x)用二分区间的方法解方程f(x)=0是一种用无限逼近的数学思想，去解方程，它的依据是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且已知函数在两端点的函数f（a）与f（b）取异号，即两端点函数值的乘积f(a)*f(b)<0,则函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点，即至少存在一点c，使得f(x)=0的解。
1.1.2二分法的算法。
1）计算f(x)在有解区间[a, b]端点处的值。
2）计算在区间中点处的值。
3）判断若，则即是根，否则检验：
若与异号，则知道解位于区间，若与同号，则知道解位于区间，反复执行步骤，便可得到一系列有根区间：
4）当，则即为根的近似值。
1.2不动点迭代法的原理和算法，并分析不同迭代格式的收敛性。
1.2.1不动点迭代法的原理和算法。
将非线性方程f (x) =0化为一个同解方程，并假设为连续函数。
任取一个初值，代入方程的右端，得。继续 ——
称式为求解非线性方程的简单迭代法。
称为迭代函数，称为第k步迭代值。
如果存在一点x，使得迭代序列｛｝满足。
则称迭代法收敛，否则称为发散。
1.2.2分析不同迭代格式的收敛性。
定理1：设迭代函数在[a,b]上连续，且满足。
1当时， 存在一正数l，满足0则1）方程在内有唯一解x
2）对于任意初值，迭代法均收敛于x
定理2：若x是的不动点，在x的某领域上存在且连续，并满足，则迭代过程在x的领域是线性收敛的。
1.3 newton迭代法的原理和算法。
设已知方程的近似根，则在附近可用一阶泰勒多项式近似代替。因此， 方程可近似地表示为。用表示的根，它与的根差异不大。
设，由于满足解得。
重复这一过程，得到迭代格式。
这就是著名的牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为。
计算可得，设是的单根，有，则。
故在附近，有。根据不动点原理知牛顿迭代法收敛。
2、线性方程组的数值解。
2.1 线性方程组的数值求解的原理和算法。
2.1.1设线性方程组的数值求解的原理。
的系数矩阵a可逆且主对角元素均不为零，令。
并将a分解成。
从而(1)可写成。令。其中
以b1为迭代矩阵的迭代法(公式)
称为雅克比(jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示，(4)为。
其中为初始向量。
2.1.2算法描述。
1给定迭代初始向量x0以及误差要求delta
2根据雅克比迭代公式计算出下一组向量。
3判断x是否满足误差要求，即||xk+1 – xk|| 4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代。
3、数据插值。
3.1 lagrange插值的原理和算法。
根据线性空间的理论。
所有次数不超过n的多项式构成的线性空间是n+1维的。
这个n+1维线性空间的基底也由n+1个多项式组成，并且形式不是唯一的。
而任意一个n次多项式可由基底线性表示，且在不同的基底下有不同的形式。
设为上述n+1维线性空间的一个基底。
显然线性无关。
且任意n次多项式可由线性表示。
如果为某个函数的插值函数。
则称为插值基函数。
且满足 其中为插值节点。
如果为区间上的一组节点。
我们作一组n次多项式。令。则。
从而。显然线性无关。
且。如果用作的插值基函数。
而为的插值多项式，则。
其中为待定参数。令。即。
由可得。于是在节点上，以为插值基函数的插值多项式（记为）为。
其中。称式为的lagrange插值多项式。
称为n次lagrange插值基函数。
3.2 newton插值的原理和算法。
一般的，一阶差商。
二阶差商是一阶差商的差商。
一般的，二阶差商。
n阶差商为：
而n阶差商可以表示为函数值的线性组合，即，其中。
且差商与节点排列顺序无关，即。其中，是0，1，…，n的任意一种排列。
若是x的m次多项式，则是x的m-1次多项式。
因而，一般的，在节点上有其中、分别为在节点上的newton插值公式和余项。
具体算法如下：
1） 输入：
3） 计算差商，对做。
对做。4） 计算插值n（u）
1） 输入插值u
2） v=0
3） 对做。
5）输出u,v
4、数据拟合。
4.1 数据拟合的最小二乘法的原理和算法。
4.1.1最小二乘法的原理：
当由实验提供了大量数据时，不能要求拟合函数在数据点处的偏差，即 (i=1,2,…,m) 严格为零，但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 ,需对偏差有所要求。通常要求偏差平方和。
最小。4.1.2最小二乘法的算法：
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中，求，使误差。
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得。
j=0,1,…,n
即j=0,1,…,n
关于的线性方程组，用矩阵表示为。
令。则方程系数矩阵为： 常数项为：
5、运用以上一种或多种数值方法分析一个实际工程问题。
测得铜导线在温度(℃)时的电阻如表6-1，求电阻r与温度 t的近似函数关系。
解： 画出散点图。
可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为。
列表如下。正规方程组为
解方程组得
故得r与t的拟合直线为
利用上述关系式，可以**不同温度时铜导线的电阻值。例如，由r=0得t=-242.5，即**温度 t=-242.5℃时，铜导线无电阻。
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