1.如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．
1）请你用含的代数式表示．
2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？
答案】解：（1）
的边上的高为，当点落在四边形内或边上时，（0）
当落在四边形外时，如下图，设的边上的高为，则。
所以。综上所述：当时，，取，
当时，取，
当时，最大，
2．如图，抛物线经过三点．
1）求出抛物线的解析式；
2）p是抛物线上一动点，过p作轴，垂足为m，是否存在p点，使得以a，p，m为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；
答案】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．
将，代入，得解得。
此抛物线的解析式为．
2）存在．如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，．
又，当时，即．
解得（舍去），．
当时，，即．
解得，（均不合题意，舍去）
当时，．类似地可求出当时，．
当时，．综上所述，符合条件的点为或或．
3．如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．
（1）求的面积；
2）求矩形的边与的长；
3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
答案】（1）解：由得点坐标为。
由得点坐标为。
由解得∴点的坐标为。
（2）解：∵点在上且。
点坐标为。又∵点在上且。
点坐标为。（3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则。即∴即
当时，如图2，为梯形面积，∵g（8－t,0）∴gr=,当时，如图3,为三角形面积，
4．如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
1）若厘米，秒，则___厘米；
2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案】解： （1），2），使，相似比为。
3），即，当梯形与梯形的面积相等，即。
化简得，，则，4）时梯形与梯形的面积相等。
梯形的面积与梯形的面积相等即可，则。
把代入，解之得，所以．
所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．
5．如图，已知△abc是边长为6cm的等边三角形，动点p、q同时从a、b两点出发，分别沿ab、bc匀速运动，其中点p运动的速度是1cm/s，点q运动的速度是2cm/s，当点q到达点c时，p、q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
1）当t＝2时，判断△bpq的形状，并说明理由；
2）设△bpq的面积为s（cm2），求s与t的函数关系式；
3）作qr//ba交ac于点r，连结pr，当t为何值时，△apr∽△prq？
答案】 解：(1)△bpq是等边三角形，当t=2时，ap=2×1=2,bq=2×2=4,所以bp=ab-ap=6-2=4,所以bq=bp.又因为∠b=600,所以△bpq是等边三角形。
2)过q作qe⊥ab,垂足为e,由qb=2y,得qe=2t·sin600=t,由ap=t,得pb=6-t,所以s△bpq=×bp×qe= (6-t)×t=－t2+3t；
3)因为qr∥ba,所以∠qrc=∠a=600，∠rqc=∠b=600，又因为∠c=600,所以△qrc是等边三角形，所以qr=rc=qc=6-2t.因为be=bq·cos600=×2t=t,所以ep=ab-ap-be=6-t-t=6-2t,所以ep∥qr,ep=qr,所以四边形eprq是平行四边形，所以pr=eq=t,又因为∠peq=900,所以∠apr=∠prq=900.因为△apr～△prq,所以∠qpr=∠a=600,所以tan600=,即，所以t=,所以当t=时， △apr～△prq
6．在直角梯形oabc中，cb∥oa，∠coa＝90，cb＝3，oa＝6，ba＝3．分别以oa、oc边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
1）求点b的坐标；
2）已知d、e分别为线段oc、ob上的点，od＝5，oe＝2eb，直线de交x轴于点f．求直线de的解析式；
3）点m是（2）中直线de上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点n．使以o、d、m、n为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点n的坐标；若不存在，请说明理由．
7．在图15-1至图15-3中，直线mn与线段ab相交。
于点o，∠1=∠2=45°．
1）如图15-1，若ao=ob，请写出ao与bd
的数量关系和位置关系；
2）将图15-1中的mn绕点o顺时针旋转得到。
图15-2，其中ao=ob．
求证：ac=bd，ac⊥bd；
3）将图15-2中的ob拉长为ao的k倍得到。
图15-3，求的值．
答案】 解：（1）ao=bd，ao⊥bd；
2）证明：如图4，过点b作be∥ca交do于e，∴∠aco=∠beo．
又∵ao=ob，∠aoc= ∠boe，△aoc≌△boe．∴ac=be．
又∵∠1=45°， aco=∠beo=135°．
∠deb=45°．
∠2=45°，∴be=bd，∠ebd=90°．∴ac=bd． 延长ac交db的延长线于f，如图4．∵be∥ac，∴∠afd=90°．∴ac⊥bd．
3）如图5，过点b作be∥ca交do于e，∴∠beo =∠aco．
又∵∠boe =∠aoc ，
△boe∽△aoc．
又∵ob=kao，由（2）的方法易得 be=bd．∴．
10．如图，已知过a（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为m、n，若点p从o点出发，沿om作匀速运动，1分钟可到达m点，点q从m点出发，沿ma作匀速运动，1分钟可到达a点。
1）经过多少时间，线段pq的长度为2？
2）写出线段pq长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
3）在p、q运动过程中，是否可能出现pq⊥mn？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；
4）是否存在时间t，使p、q、m构成的三角形与△mon相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由；yna
qo p m x
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相似三角形经典练习题 4套 附带答案
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