相似矩阵与合同矩阵

**相似矩阵和合同矩阵。

李鹏。摘要：矩阵的相似与矩阵的合同是线性代数中两个重要的概念。对它们的定义如何？它们定义。

中所表现出来的异同点作了简单阐述。二者都是针对方阵来说的，定义中都是要求存在一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置。它们都属于等价关系，即都有反身性、对称性、传递性。

两者之间虽然存在某些内在联系，但并不是等价的，只有二者定义中的可逆矩阵是正交矩阵时，二者才等价。

关键词：相似矩阵；合同矩阵；特征值。

1 引言。相似矩阵与合同矩阵是线性代数中很重要的两个概念，前人对它们进行了很详尽的研究和比较完美的应用，本文从他们的定义出发对它们进行了简单的介绍并对它们的判断方法进行了总结，用具体例子对它们的判断方法进行贴切的说明。这些对以后的线性代数问题会有很大用处。

2 相似矩阵与合同矩阵的定义及性质。

2．1 相似矩阵的定义及性质。

2．1．1 相似矩阵的定义设、为两个阶矩阵，若存在阶可逆矩阵，使得。

则称与相似，记为～称可逆矩阵c为相似变换矩阵。

**性变换中，说同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的，反过来，若两矩阵相似，则它们可看成同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵。

相似是矩阵之间的一种关系，它满足。

1）反身性，即～；

2）对称性，即若～，则有～a；

3）传递性，即若～且～c，则～c.

2．1．2 相似矩阵的性质。

性质1 若矩阵，则。

证设，则存在可逆矩阵，使得。

两边同时取行列式，得。

性质2 可逆的相似矩阵，它们的逆矩阵也相似。

证，均为可逆矩阵，且，则存在可逆矩阵c，使得。

即。性质3 若，则，其中是任意常数，为正整数。

证设，则存在可逆矩阵，使得。

从而有，即。

即。性质4 若，是一个多项式，则。

证设。因为，所以存在可逆矩阵，使得。

于是有。即。

性质5 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

证，则存在可逆矩阵，使得。

而。即矩阵a与b有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

性质6 两个阶方阵有相同的特征值，证明：它们的特征向量之间相差一个可逆矩阵因子。

证若矩阵相似，则存在，使得，进而设的属于的特征向量为，则=0，于是由知， =0

用左乘上式，得=0.这就意味着是的属于特征值的特征向量。

同理可证，若为矩阵的属于特征值的特征向量，则必为的属于的特征向量。另外，相似矩阵有相同的迹。即若，则；若，且，则，…为的特征值；若矩阵均可逆，且，则。

2．1．3 相似矩阵的判定。

定理1 两矩阵相似的充要条件是等价于。

为此，引入以下引理。

引理1 如果有使得，则与相似。

引理2 对于任何不为零的矩阵和-矩阵，一定存在，，使得。

2.2 合同矩阵的定义及性质。

2．2．1合同矩阵定义设均为阶方阵，若存在可逆矩阵，使得，则称矩阵与合同，记。

合同是矩阵之间的另一种关系，它满足。

1）反身性，即；

2）对称性，即若，则有；

3）传递性，若和，则有。

因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。

在数域中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同。

2.2.2 合同矩阵的性质。

性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型。

性质2 在数域上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。

性质3 矩阵合同与数域有关。

例1 证明：与在复数域上合同，但在实数域上不合同。

证取=，则有，即与在复数域上合同。又若存在实满秩矩阵，使，这是不可能的：因为的第一行第一列交叉位置上的元素为-1，而的对应元素却为其中为的第一列元素，故不等于-1，因此，与在实数域上不合同。

例2 设均为数域上的阶矩阵，若合同，则，反之，若，问在上是否合同？

证若与合同，即存在可逆矩阵，使。由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故与有相同的秩。

反之，若，则与在上不一定合同。例如，方阵=，的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同。

例3 设=，证明：如果与合同，与合同，则与合同。

证由于与合同，与合同，故存在满秩矩阵，，使得，，于是令，则有，即与合同。

2．2．3 合同矩阵的判定。

定理1 两复数域上的阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩。

证由于二次型通过满秩线性代换时秩不变，故两个二次型能互化时，秩一定相等。

反之，，都是阶对称矩阵，对应的二次型分别是，，若与的秩相等，都是，则与必可分别通过复满秩线性代换，设为，化为同一规范形。于是，便可通过满秩线性代换化为，而又可通过满秩线性代换化为，即与可以互化。

定理2 两实数域上的阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差。

证由于实二次型通过实满秩线性代换不改变二次型的秩和符号差，而两个实二次。

型能互化的充要条件是两者有相同的规范形，从而两者可互化的充要条件是有相同的秩与符号差。

矩阵相似与矩阵合同的一些不同之处，如矩阵，相似，有矩阵，的行列式的值相等；且，有相同的特征值。但若矩阵，合同，那么与的行列式的值不一定相等；，也不一定有相同的特征值。一般情况下，由矩阵，相似不一定能得出矩阵，合同，反之，由矩阵，合同也不一定能得出矩阵，相似。

例4 设。不难验证：，即矩阵，合同，但的特征值为和；的特征值为。

1和。相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，即两者都是等价关系。两者都具有反身性、对称性和传递性，且相似或合同的两矩阵分别有相同的秩。

另外，在一定条件下，两者是等价的。若矩阵，正交相似时，则它们既是相似的又是合同的。

本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的。

3 矩阵与合同矩阵的等价条件。

定理1 如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根。则，既相似又合同。

证设，的特征根均为，因为为阶实对称矩阵，则一定存在一个阶正交矩阵，使得：

同理，一定能找到一个正交矩阵，使得：，从而有：

将上面两边分别左乘右乘，得，由于，有，所以，可逆。

又由于，所以，是正交矩阵，故，相似且合同。

定理2 若阶矩阵，中有一个是正交矩阵，则与相似且合同。

证不妨设是正交矩阵，则可逆，取。

所以，与相似，由于与正交相似，故与合同。

定理3 若与相似且合同，与相似且合同，则与相似且合同。

证因为，相似，，相似，故存在可逆矩阵，使得，

令 =,则=，且==

故，与。又因为与，与分别合同，故存在可逆矩阵，使得。

令 =，则=

而==故，与合同 .

从上面这个定理我们可以得到，若与，与分别正交相似，则与。

相似且合同。

矩阵的相似或矩阵的合同都有很多性质，但这些性质都是矩阵相似或矩阵合同的必要条件，只能排除矩阵的相似或合同，却不能确定矩阵的相似或合同，对于选择题可以通过排除法来确定合适的答案，否则最终还要由定义来确定有时也可利用等价性质，即对称性，传递性，通过和第三个矩阵相似或合同来确定。

相似矩阵用的比较多的性质是相似矩阵有相同的秩，相同的行列式，相同的特征值等。合同矩阵用的比较多的性质是合同矩阵有相同的秩，与对称矩阵合同的矩阵只能是对称矩阵，与实对称矩阵合同的矩阵除了有相同的秩，还要有相同的正惯性指数等。

例5 已知=，试判断，，中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？

分析矩阵的秩和矩阵，的秩不等，则不可能与，相似或合同，只有讨论，了。

解的秩为3，而，的秩为2，故和，既不相似又不合同。

又的迹是8，而的迹是6，不相等，故和不相似，最后，是对称矩阵，而不是，所以，和也不合同。

所以，矩阵，，相互之间既不相似又不合同。

例6 =，则，满足的关系（）

a）合同且相似b）合同但不相似。

c）相似但不合同d）不合同且不相似。

分析是一个实对称阵，是一个对角矩阵，实对称矩阵总存在一个正交阵使它和对角矩阵既相似又合同。而且这个对角阵的对角元素恰好是这个对称阵的特征值。所以只要的特征值和的对角元一样就得和相似且合同，否则不相似也不合同。

这样，本题就可归为求矩阵的特征值，这个矩阵的特征值按常规可用特征方程来求，也可以用特征值的性质来求。

解法1 ==

的特征值是0，0，0，4.故存在正交矩阵q使qaq=qaq=b，故选（a）.

解法2 由矩阵a的秩是1，0是它的特征值，又，所以属于特征值0的线性无关的特征向量有4=3个，即0作为的特征值至少是3重的，而矩阵是一个4阶的实方阵，所以它有4个特征值，根据矩阵特征值的和等于特征值的迹，又有tr(a)=1+1+1+1=4,根据以上分析，可知矩阵a的特征值是0，0，0，4

故，选（a）.

定理4 若实对称矩阵与相似，则与合同。

证因为与相似，故，有相同的特征根，设为…，从而存在正交矩阵。

使得=，令，则。即与合同。

但此定理的逆命题不成立。

4 结论。本文对相似矩阵与合同矩阵的定义，以及它们的判断方法进行了比较，让大家更清楚的了解矩阵的这两种关系，从而更好的应用它们来解决线性代数中的问题。两种矩阵关系都是要求一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置。

在以后的应用中首先要抓住矩阵相似与合同判定条件的异同点从而更从容地运用它们。

参考文献。1］李桂荣．高等代数的方法研究[m]．香港亚太经济出版社．2001.

2］杨子胥．高等代数习题解（下册）[m]．山东科学技术出版社．2003.

3］上海交通大学数学系．线性代数习题与精解[m]．上海交通大学出版社．2005.

4］刘光祖，刘迎洲．线性代数典型题解及自测试题[m]．西北工业大学出版社．2002.

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