南通市天星湖中学高三数学周练10.28
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置．
1． 已知集合，则 ▲
2． 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数 ▲
3．命题“对，”的否定是 ▲
4. 如图所示的流程图的运行结果是 ▲
5． 通州大润发对某类商品销售数量(单位：个)进行统计，统计时间是9月1日至9月30日，每5天一组分组统计，绘制了如图的销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的此类商品数(单位：个)为 ▲
6． 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是 ▲
7. 函数的定义域为 ▲
8． 设为锐角，若，则的值为 ▲
9． 已知圆锥的母线长为10，侧面积为，则此圆锥的体积为 ▲
10．已知函数和函数的图象交于三点，则△abc的面。
积为 ▲ 11．已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，若，为的导函数，对，总有，则的解集为 ▲
12．已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω0)，x∈r. 若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是 ▲
13．若对于任意实数，不等式恒成立，则的最大值为▲ ．
14．设函数若函数有三个不同零点，则等于 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共90分． 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，平行四边形abcd中，bd⊥cd，正方形adef所在的平面和平面abcd垂直，h是be的中点，g是ae，df的交点．
1）求证：gh∥平面cde；
2）求证：bd⊥平面cde．
16．(本小题满分14分)
设向量，（其中）.
1）当时，若，求实数x的值；
2）当时，若，求函数的值。
17．（本小题满分14分）
在△abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知。
1）求b；2）若b＝2，△abc的面积s＝3，求a＋c的值．
18. （本小题满分16分）
如图，一个圆心角为直角的扇形aob花草房，半径为1，点是花草房弧上一个动点，不。
含端点，现打算在扇形bop内种花，,垂足为q，pq将扇形aop分成左右两部。
分，在pq左侧部分三角形poq为观赏区，在pq右侧部分种草，已知种花的单位面积的。
造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a为正常数，设，种花的造价与。
种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为。
1）求关于的函数关系式；
2）求当为何值时，总造价最小，并求出最小值。
19．（本小题满分16分）
已知平面直角坐标系内两个定点、，满足的点形成的曲线记为．
1）求曲线的方程；
2）过点b的直线与曲线相交于c、d两点，当⊿cod的面积最大时，求直线的方程（o
为坐标原点）；
3）设曲线分别交x、y轴的正半轴于m、n两点，点q是曲线位于第三象限内一段上的任。
意一点，连结qn交x轴于点e、连结qm交y轴于f．求证四边形mnef的面积为定值．
20．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝＋a，b，λ为实常数)，定义区间的区间长度为。
（1）若λ＝－1，a＝1．
当b＝－1时，求函数f(x)的图象在点(，f())处的切线方程；
当b＜0时，求函数f(x)在[，]上的最大值．
2）若λ＝1，b＜a，求证：不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度d为定值．
南通市天星湖中学高三数学周练附加题10.28
21b．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是．求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程．
选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线c的参数方程为（为参数），求直线与曲线c交点p的直角坐标。
22．（本小题满分10分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。
每个球在每一次被取出的机会是等可能的。 用表示甲，乙最终得分差的绝对值．
1）求袋中原有白球的个数；
2）求随机变量的概率分布列及数学期望e．
23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线ma，切点为a (异于点o)，直线l过点m与抛物线交于两点b，c，与直线oa交于点n．
1）求抛物线的方程；
2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
南通市天星湖中学高三数学周练10.28
参***。一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
二．解答题：本大题共6小题，共90分。
15．【解答】（1）是的交点，∴是中点，又是的中点，中。
又∵ ∴平面 .…7分）
2）平面平面，交线为， ，平面， ∴又14分）
16. 解：（1）当，……2分）
………4分）
又7分）2）当时，
9分）………12分）
………14分）
17．解：（1）由已知得a＋c＝2bsin，由正弦定理知sina＋sinc＝2sinb，即sin(b＋c)＋sinc＝sinb(sinc＋cosc)，整理得sinbsinc－cosbsinc＝sinc，因为sinc>0，所以sinb－cosb＝1，即sin5分）
因为b∈(0，π)所以b7分）
2)由(1)知b＝，从而s＝acsinb＝acsin＝ac＝3，所以ac＝1210分）
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosb＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－3×12＝(a＋c)2－36，故(a＋c)2＝b2＋36＝(2)2＋36＝64，所以a＋c＝814分）
18. 解：（1）种花区的造价为， 种草区的造价为
故总造价，……6分）
9分）令，得到。
故当时14分）
答：当时总造价最小为16分）
19． 解：（1）由题设知，两边化简得。
点的轨迹的方程为………3分）
2）由题意知的斜率一定存在， 设即，原点到直线的距离，……5分），…7分）
当且仅当时，取得“=”
当时，此时，
直线的方程为．……9分）
3）设………11分）
设（其中）则，令得。
………12分）
令得。………13分）
定值）……16分）
20．(1)当b＝－1时，f(x)＝－则f ′(x)＝，可得f ′(4，又f()＝2，故所求切线方程为y－2＝－4 (x－)，即4x＋y－10＝0．……4分）
当λ＝－1时，f(x)＝－则f ′(x6分）
因为b＜0，则b－1＜0 ，且b＜＜
故当b＜x＜时，f ′(x)＞0，f(x)在(b，)上单调递增；
当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)在(，)单调递减．
(ⅰ)当≤，即b≤－时，f(x)在[，]单调递减，所以[f(x)]max＝f()＝
(ⅱ)当＜＜，即－＜b＜0时，[f(x)]max＝f()＝
综上所述，[f(x)]max＝……10分）
(2) f(x)≥1即＋≥1．
当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．
当a＞x＞b时，不等式(*)可化为 (x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)＋4＞0，所以g (x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x≤x1
当x＞a时，不等式(*)可化为 (x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2
综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．
故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度d为定值216分）
卷（附加题，共40分）
21b．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
解析】变换是逆时针旋转的旋转变换则………2分。
设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，所以，即7分。
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