大家的线性代数学习也进行了差不多一半了，对最近所学内容有什么见解，可以写下来；也可以对所学知识进行一个归纳总结；或者对某种类型的题目有更好的解法也可以写下来。
要求用word 文档提交作业，字数至少500.
线性代数知识归纳总结。
关于：称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；线性无关；
任意一个维向量都可以用线性表示。
行列式的计算：
若都是方阵（不必同阶）,则。
上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积。
关于副对角线：
逆矩阵的求法：
方阵的幂的性质：
设，对阶矩阵规定：为的一个多项式。
设的列向量为，的列向量为，的列向量为， 用对角矩阵左乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵右乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量。
两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，与分块对角阵相乘类似，即：
矩阵方程的解法：设法化成。
当时，和同解（列向量个数相同）,则：
它们的极大无关组相对应，从而秩相等；
② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；
③ 它们有相同的内**性关系。
判断是的基础解系的条件：
线性无关；是的解；
1 零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交。
2 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关。
3 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关。
4 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关。
5 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关。
6 向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合。
7 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示。
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示。
8 维列向量组线性相关；
维列向量组线性无关。
10 若线性无关，而线性相关，则可由线性表示，且表示法惟一。
11 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩。
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。
12 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系。
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系。, 和可以相互线性表示。 记作： ,经过有限次初等变换化为。 记作：
13 矩阵与等价作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价。
矩阵与作为向量组等价。
矩阵与等价。
14 向量组可由向量组线性表示≤.
15 向量组可由向量组线性表示，且，则线性相关。
向量组线性无关，且可由线性表示，则≤.
16 向量组可由向量组线性表示，且，则两向量组等价；
17 任一向量组和它的极大无关组等价。
18 向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等。
19 若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等。
20 若是矩阵，则，若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性无关，即：线性无关。
线性方程组解的性质：
设为矩阵，若，则，从而一定有解。
当时，一定不是唯一解。,则该向量组线性相关。
是的上限。 矩阵的秩的性质：
且在矩阵乘法中有左消去律：, 个维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.,
内积的性质： ①正定性：
对称性： 双线性：
] 线性无关，单位化：
是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基。
正交矩阵的性质：①；
是正交阵，则（或）也是正交阵；
两个正交阵之积仍是正交阵；
正交阵的行列式等于1或-1., 为可逆阵） 记为：
相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量。 这时，为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵，主对角线上的元素为的特征值。
可对角化的充要条件： 为的重数。
若阶矩阵有个互异的特征值，则与对角阵相似。, 为正交矩阵）
相似矩阵的性质：① 若均可逆。
（为整数）,从而有相同的特征值，但特征向量不一定相同。即：是关于的特征向量，是关于的特征向量。
从而同时可逆或不可逆。
数量矩阵只与自己相似。
对称矩阵的性质：
特征值全是实数，特征向量是实向量；
与对角矩阵合同；
不同特征值的特征向量必定正交；
重特征值必定有个线性无关的特征向量；
必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量，可能有重的特征值，重数=）.与对角阵相似。 记为： （称是的）
若为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重数重复计算）.
设为对应于的线性无关的特征向量，则有：
若， ,则：.
若，则，.
] 为对称矩阵 ,
实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数。
任一实对称矩阵与惟一对角阵合同。
用正交变换法化二次型为标准形：
1 求出的特征值、特征向量；
2 对个特征向量单位化、正交化；
3 构造（正交矩阵）,；
4 作变换，新的二次型为，的主对角上的元素即为的特征值。
] 不全为零，.
] 正定二次型对应的矩阵。
合同变换不改变二次型的正定性。
成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
1 正惯性指数为；
2 的特征值全大于；
3 的所有顺序主子式全大于；
4 合同于，即存在可逆矩阵使；
5 存在可逆矩阵，使 （从而）；
6 存在正交矩阵，使 （大于）.
成为正定矩阵的必要条件： ；
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