第十四讲最优化问题。
我国著名大数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及的“统筹方法”和“优选法“华罗庚曾利用数学知识创造许多优化解决问题的方法。我们所破到的最优化问题，是通过适当规划安排，在许多方案中，寻找一个最合理、最节约、最省事的方案。
典型例题。 例1 妈妈让小明给客人烧开水切茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点和上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能切茶了？
先决条件。这1分钟不能省，而洗茶壶、洗开水杯、拿茶叶等切茶的准备工作都可以放在烧开水的15分钟里完成。
解最省时间的安排是：纤细开水壶（用1分钟），按着烧开水（用15分钟），在等待水烧开的时间里，可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就切茶。这样一共用了16分钟。
例2 在一条公路上，每隔100其千米有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两仓库是空的。现在想把所有的货集中存在同一仓库里，如果每吨货物运输1千米需0.5元运费，那么最少要花多少运费才行？
分析要做到所花运费最少，必须综合考虑两个因素：（1）运走的货物尽可能少；（2）要运货物运输的路程将可能短。如果考虑第一因素，就要将货物集中在五仓库；如果考虑第二因素，就要将货物集中在四仓库。
比较这两种情况，选择运费最少的一种。将货物集中到五号仓库。
解 0.5×（10×400+20×300）=5000（元）
例3 a、b两批发部分别有电视机70台与60台，甲乙丙三个商店分别需要电视机30台、40台和50台。从a、b两批发部每运一台电视到三个销售店的运费如表所示。如何调运才能使运费最少？
分析该题中**量70+60=130台，需求量为30+40+50=120台。供求量不等，供大于求。由表可知，由差价可知，a尽量**给乙，即a给乙40台。
接着a应尽可能多地**给丙，即a**给丙70—40=30（台）。b**30台给甲，**50—30=20（台）给丙。按此调运方案运费最少。
解 30×30+70×40+（30×30+50×20）=5600（元）
例4 甲、乙两位沙漠探险者要到沙漠深处探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的事物和水，如果允许将部分事物存放于途中，那么其中1人最远可以深入沙漠多少千米？（要求二人都能安全返回出发点）
分析甲、乙两人同时出发向沙漠腹地进发，若干天后，甲返回出发地，这时甲和乙的给养都消耗了相同部分，甲将余下的部分平均分成三成，一份补足乙刚才消耗的给养，另一份存放于甲的返回点，自己携带一份返回，可见甲的给养平均分成了4份，而乙的给养平均分成2份。
解24÷4=6（天） 24÷2=12（天） 6+12=18（天） 20×18=360（天）
例5 有10个村，坐落在从县城出发的一条公路（如图，距离单位都是千米），要安装水管，从县城输送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够**所有各村用水，细管只能**一个村用水。粗管每千米用8000元，细管每千米用2000元。把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用。
按你认为最节省的办法，费用应是多少？
分析首先考虑全用粗管，因为8000元是2000元的4倍，所有g之后粗管，费用将减少。在f与g之间不论安装粗管还是细管，花的钱一样多。在f之前如果不安装粗管，需要5条以上的细管，费用将增加。
因此，工程的设计是：从县城到g安装一条粗管；g和h之间安装三条细管；h与i之间安装两条细管；i与j之间安装一条细管。这样做，工程费用最少。
解 8000×（30+5+2+4+2+3+2）+2000×（2×3+2×3+5）=414000（元）
例6 仓库内有一批14米长的钢材，现要取出若干根，把它们切割成3米和5米长的50根。如果不计切割时的损耗，最少要从仓库最出多少根钢材？
分析因为14=3×3+5，所有把每根14米的钢材切割成3根3米和1根5米的最少料。但是这种“最优方案”会导致3米的大大多于5米的，不符合各50根的要求，于是应该想到13=5+5+3，即把14米的钢材切割成2根多5米的和1根3米的，每用一根钢材仅浪费1米的“次优方案”，这一方案中5米的多于3米的，因把“最优方案”与“次优方案”切割了y根。
按“最优方案”可得3x根3米的，x根5米的；按“次优方案”可得y根3米的，2y根5米的。根据3米的与5米的根数相等，可得：
3x+y=x+2y 得2x=y
因为3x+y=50，所以3x+2x=5x，解之得x=10，这样y=20，也就是说最少要从仓库取出10+20=30（根）钢材。
在我国古代数学著作《孙子算经》中，记载了这样一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"这一问题及其解法，被中外数学家称之为”孙子定理“，也称为”中国剩余定理“。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求满足条件的最小整数”。
分析这类问题的解题依据是：
（1）如果被除数增加（或减少）除数的若干部，除数不变，那么余数仍然是2.
例如：17÷3=5...2 那么17依次加上（或减去）3的倍数，余数仍然是2.
（2）如果被除数扩大（或缩小）若干部，除数不变，则余数也扩大（或缩小）相同的倍数。
例如 25÷3=4...3如果将23扩大3倍，余数也扩大3倍变成9（实际余4）。
本题所求的最小的整数要满足三个条件，解答时可先求满足其中一个条件的数，再依次增加条件，最终找到满足所有条件的数。
解解法一：（1）先找出满足：“除以3余2 ”的最小的数2，再依次加上3的倍数，余数不变：2+3=5,5+3=8...
(2)从中找到满足“除以5余3”的最小的数是8，我们再依次加上3和5的公倍数，仍然能满足前两个条件。8+15=23,23+15=38，..
3)上利数中满足“除以7余2”的最小的数是23.这是同时满足三个条件的最小的整数，如果依次加上的公倍，仍然满足这三个条件。
因此，满足条件的最小整数是23
解法二 （1)先找出能不被正处而被7除余1的数：15，能被整除而被5除余1的数：21，能被整除而被3除余1的数：70。
（2）题目中要求的数倍除得的余数分别是，用它们分别去乘，再把积加起来：15×2+21×3+70×2=30+63+140=233、
（3）233是满足条件的数，但不是最小的，从中减去的公倍数，使得差小于他们的最小公倍数105，这个差就是满足条件的最小的数：233-105×2=23
注解法一，小学生较易理解和掌握。解法二更科学、简明，但理解起来有难度。
例8 篮子里有若干只鸡蛋，每次去处5只，最最后剩3只；每次去处6只，最后剩下4只；每次去处7只，最后剩1只。篮子里至少有多少只鸡蛋？
分析本题与例1类型相同，鸡蛋的数量除以5余3，除以6余4，除以7余1.求篮子里至少有多少只鸡蛋，也就是求符合条件的最小的数。
解 （1）“除以5余3”的最小的数是3，加上5的倍数……
2）从中找到满足“除以6余4”的最小的数是28，再一次加上5和6的公倍数……
3）上列数中满足“除以7余1”的最小数是148.
因此，148就是符合条件的最小的数，即篮子里至少148只鸡蛋。
例9 一个数被7除余5，被4除余3，这个数被28除余几？
分析先找出“被7除余5、被4除余3”的最小数，用这个数除以28的余数，就是所求的数。
解 （1）“被7除余5”的数有……
2）从中找出满足“被4除余3”的最小的数是19，用19依次加上7和4的公倍数28，可以得到所有符合条件的数。
3）因为19÷28的余数是19，其他符合条件的数被28除的余数也是19.
因此，这个数被28除余19.
例10 再一次讨论会上，与会代表没3人一组，则多1人；每5人一组，则多2人；每7人一组，则多3人。已知与会代表人数350—400之间，就是与会代表的人数。
解：（1）“被除3余1”的数有……
2）从中找出满足“被5除余2”的最小的数是7，用7依次加上3和5的公倍数、.
3）上列数中满足“除以7余3”的最小的数是52.
4）因为人数在350－400之间，所以用52依次加上和7的最小公倍数105;157/262/367、..
那么，与会代表共有367人。
例11 在500以内的整数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大数是多少？
分析先找出符合条件的最小的数，再加上和7的公倍数的若干倍，找到500以内最大的数。
解（1）“被除4余3”的数有..
2）从中找到满足“被5除余2"的最小的数是7，用7依次加上4和5的公倍数、.
（3）上列数中满足”除以7余4“的最小的数是67.
和7的最小公倍数是140,67+140×3=487.
因此，满足条件的最大的数是487.
例12 在小于1000的整数中，除以3余2，除以5余2，除以7余4的数共有多少个？
分析先找出符合条件的最小的数，再加上和7的公倍数的若干倍，找出1000以内符合条件的最大的数，将若干倍加上1，也就是满足条件的数的个数。
解（1）”被出3余2、被5除余2“的最小数，也就是3和5的最小公倍数加上2：
（2）用17依次加上3和5的公倍数、.
（3）上列数中满足“除以7余4”的最小的数是32.
（4）[3,5和7]=105,32+105×9=977
9+1=10，所以满足条件的数共有10个。
“一堆草可供8头牛吃6天，这堆草可供10头牛吃几天？",这个问题分成简单，因为草的问题是固定不变的，于是可以得到，可供12头牛吃：8×6÷12=4（天）
但如果将“一堆草”改为“一片正在生长的草地”，此时问题就复杂多了，因为草的总量是在不断变化的（假设其均匀变化）。这类工作总量不固定但均匀变化的问题称为牛吃草问题，由于这类问题首先由牛顿提出的，因而也叫牛顿问题。
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