数学建模个人认识和心得体会

数学建模的体会思考。

经过这段时间的学习，了解了更多的关于这门学科的知识，可以说是见识了很多很多，作为一个数学系的学生，一直都有一个疑问，数学的应用在那里。对了，就在这里，在这里，我看到了很多，也学到了很多，关于各个学科，各个领域，都少不了数学，都是用建模的思想，来解决实际问题，很神奇。

数学建模给了我很多的感触：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。

它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。

数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。

例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案……这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。

数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来看，我们都是直接受益者。

就拿数学建模比赛写的**来说。原本以为这是一件很简单的事，但做起来才发觉事情并没有想象中的简单。因为要解决问题，凭我们现有的知识根本不够。

于是，自己必须要充分利用图书馆和网络的作用，查阅各种有关资料，以尽量获得比较全面的知识和信息。在这过程中，对自己眼界的开阔，知识的扩展无疑大有好处，各学科的交叉渗透更有利于自己提高解决复杂问题的能力。毫不夸张的说，建模过程挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特别是自学能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继续深入学习数学的主动性和积极性。

再次，数学建模也培养了我们的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决问题。其实，在我们做**之前，考虑到的因素有很多，如果把这一系列因数都考虑的话，将会花费更多的时间和精神。

因此，在我们考虑一些因素并不是本质问题的时候，我就将这些因数做了假设以及在模型的推广时才考虑。这就使模型更加合理和理想。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。

对实际问题再进行“翻译”，即进行抽象，要用我们熟悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。

下面用一个具体的实例，来介绍建模的具体应用：

传染病问题的研究。

一﹑模型假设。

1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数n(t)不变，人口始终保持一个常数n。

人群分为以下三类：易感染者(susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。

2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日**率（每天被**的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。

二﹑模型构成。

在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：

在假设1中显然有：

s(t) +i(t) +r(t) =1

对于病愈免疫的移出者的数量应为。

不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为（＞0），（0），=0.

sir基础模型用微分方程组表示如下：

s(t) ，i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ，i(t)的一般变化规律。

三﹑数值计算。

在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用matlab软件编程：

function y=ill(t,x)

a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];

ts=0:50;

x0=[0.20,0.98];

t,x]=ode45('ill',ts,x0);

四﹑相轨线分析。

我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。

d = s，i）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝

在方程（3）中消去并注意到σ的定义，可得。

所以6）利用积分特性容易求出方程(5)的解为：（7）

在定义域d内，(6)式表示的曲线即为相轨线，如图3所示。其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向。

下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作，和).

1. 不论初始条件s0,i0如何，病人消失将消失，即：

2.最终未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到，是方程。

在(0,1/σ)内的根。在图形上是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标。

3.若》1/σ,则开始有，i(t)先增加，令=0，可得当s=1/σ时，i(t)达到最大值：

然后s<1/σ时，有，所以i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减小至，如图3中由p1(，)出发的轨线。

4.若1/σ,则恒有，i(t)单调减小至零，s(t)单调减小至，如图3中由p2(s0,i0)出发的轨线。

可以看出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/σ是一个阈值，当》1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得≤1/σ(即σ ≤1/),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值是一定的，通常可认为接近1)。

并且，即使》1/σ,从(19),(20)式可以看出， σ减小时，增加(通过作图分析),降低，也控制了蔓延的程度。我们注意到在σ=λ中，人们的卫生水平越高，日接触率λ越小；医疗水平越高，日**率μ越大，于是σ越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。

从另一方面看，是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一病人被个健康者交换。所以当即时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延。

五﹑群体免疫和预防。

根据对sir模型的分析，当时传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/σ变大以外，另一个途径是降低，这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到。

忽略病人比例的初始值有，于是传染病不会蔓延的条件可以表为。

这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就可以制止传染病的蔓延。

这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到2024年才在全世界**。

而有些传染病的σ更高，**就更加困难。

六﹑模型验证。

上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了的实际数据，kermack等人用这组数据对sir模型作了验证。

首先，由方程（2），（3）可以得到，两边积分得。

所以12)再 (13)

当时，取（13）式右端taylor展开式的前3项得：

在初始值=0 下解高阶常微分方程得：

其中，从而容易由（14）式得出：

然后取定参数 s0, σ等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。

七﹑被传染比例的估计。

在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值与之差，记作x,即16)

当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得。

取对数函数taylor展开的前两项有。

记 ,可视为该地区人口比例超过阈值的部分。当时（18）式给出（19）

这个结果表明，被传染人数比例约为的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变。而当阈值提高时，减小，于是这个比例就会降低。

这是一个关于传染病方面的实例，看起来很复杂的题目，用数学建模就可以化抽象为具体，简单的利用微分方程，图像，以及必要的数学软件就可以解决问题，同时把问题细化，分析了各种变量的影响。具体到七各方面的分析综合，这样一个问题就解决了。

建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。于以前所学的文化知识，使我终生难忘。

数学建模之心得体会。

一年一度的全国数学建模大赛在每年的9 月的第三个周末的周五上午8 点拉开战幕，各队将在3 天72 小时内对一个现实中的实际问题进行模型建立，求解和分析，确定题目后，我们队三人分头行动，一人去图书馆查阅资料，一人在网上搜索相关信息，一人建立模型，通过三人的努力，在前两天中建立出两个模型并编程求解，经过艰苦的奋斗，终于在第三天完成了**的写作，在这三天里我感触很深，现将心得体会写出，希望与大家交流。

1. 团队精神。

团队精神是数学建模是否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要相互支持，相互鼓励。切勿自己只管自己的一部分（数学好的只管建模，计算机好的只管编程，写作好的只管**写作），很多时候，一个人的思考是不全面的，只有大家一起讨论才有可能把问题搞清楚，因此无论做任何板块，三个人要一起齐心才行，只靠一个人的力量，要在三天之内写出一篇高水平的文章几乎是不可能的。

2. 有影响力的leader

在比赛中，leader 是很重要的，他的作用就相当与计算机中的cpu，是全队的核心，如果一个队的leader 不得力，往往影响一个队的正常发挥，就拿选题来说，有人想做a 题，有人想做b 题，如果争论一天都未确定方案的话，可能就没有足够时间完成一篇**了，又比如，当队中有人信心动摇时（特别是第三天，人可能已经心力交瘁了），leader 应发挥其作用，让整个队伍重整信心，否则可能导致队伍的前功尽弃。

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