空间几何体的表面积和体积预习提纲。
1．平面展开图。
2．概念：直棱柱：
正棱柱：正棱锥：
正棱台：3．面积公式：
s直棱柱侧s正棱锥侧＝
s正棱台侧s圆柱侧。
s圆锥侧s圆台侧。
s球面＝ 相互间的关系：
4．体积公式：
v长方体v柱体＝
v锥体v台体。
v球＝ 相互间的关系：
空间几何体的表面积和体积教案。
例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长。
例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积。
例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥a—bcd，求它的体积是正方体体积的几分之几？
例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积。
例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
2）球的表面积等于圆柱全面积的。
例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比。
例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比。
练习：1.已知球面上a、b、c三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且ab=bc=ca=2，求球的体积。
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积。
例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
例9：半径为r的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
空间几何体的表面积和体积教案。
例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长。
分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲。
求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a、10a、
9a，故只须求出参数a即可，那么如何利用已知条件去求。
a呢？生］设底面三边长分别是17a、10a、9a,s侧＝（17a＋10a＋9a）·16＝576a
设17a所对三角形内角α，则cosα＝＝sinα＝
s底＝·10a·9a·＝36a2
576a＋72a2＝1440解得：a＝2
三边长分别为34 cm，20 cm，18 cm.
师］此题中先设出参数a，再消去参数，很有特色。
例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积。
分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得。
解：如图所示，设正三棱锥s—abc的高为so，斜高为sd，在rt△sao中，∴ao＝sa·cos45°
ao＝ad＝a ∴sa＝a
在rt△sbd中。
sd＝s侧＝·3a·sd＝a2. ∵s底＝a2
s全＝（＋a2
例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥a—bcd，求它的体积是正方体体积的几分之几？
分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的。
体积和正三棱锥a—bcd的体积即可。
解：设正方体体积为sh,则每个截去的三棱锥的体积。
为·sh＝sh.
三棱锥a—bcd的体积为。
sh－4·sh＝sh.
正三棱锥a—bcd的体积是正方体体积的。
例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积。
解：如图所示，在正四棱锥p—abcd中，ab＝a，pb＝2a，作po⊥底面abcd于o.连结bd，则o∈bd，且po⊥bc，由ab＝a，得bd＝a，在rt△pab中，po2＝pb2－bo2＝（2a）2－（a）2
po＝a，s对角面＝po·bd＝a2.
又作pe⊥bc于e，这时e是bc的中点。
pe2＝pb2－be2＝（2a）2－（a）2
pe＝a ∴s侧＝4×pe·bc＝a2
对角面面积为a2,侧面积为 a2.
例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
2）球的表面积等于圆柱全面积的。
证明：（1）设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，得。
s球＝4πr2，s圆柱侧＝2πr·2r＝4πr2 ∴s球＝s圆柱侧。
2）∵s圆柱全＝4πr2+2πr2＝6πr2s球＝4πr2
s球＝s圆柱全。
例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比。
解：设正方体的棱长为a，则第一个球的半径为，第二个球的半径是a，第三个球的半径为a.
r1∶r2∶r3＝1s1∶s2∶s3＝1∶2∶3
例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比。
解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面sab和球的大圆⊙o，且⊙o为。
sab的内切圆。
设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为r，则。
s锥全＝πr2＋πrl，s球＝4πr2，∴r2＋rl＝8r2
又∵△soe∽△sao1
由②得：r2＝r2·代入①得：r2＋rl＝8r2·，得：
l＝3r圆锥侧面积与底面积之比为3∶1.
练习：1.已知球面上a、b、c三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且ab=bc=ca=2，求球的体积。
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积。
例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
解：如图所示，等边△sab为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形c1cdd1，截球面得球的大圆圆o1.
设球的半径o1o＝r，则它的外切圆柱的高为2r，底面半径为r，则有。
ob＝o1o·cot30°＝r
so＝ob·tan60°＝r·＝3r
v球＝πr3,v柱＝πr2·2r＝2πr3
v锥＝π（r）2·3r＝3πr3
v球∶v柱∶v锥＝ 4∶6∶9
师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系。
让我们继续体会有关球的相接切问题。
例9：半径为r的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
解：如图所示，大球o的半径为r；设正四面体。
a—bcd的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意。
bo1＝a＝a，ao1＝＝＝a
又∵bo2＝bo12＋oo12，r2a＝r
连结oa，ob，oc，od，内切球球心到正四面体各面距离为r,vo—bcd＝vo—abc＋vo—acd＋vo—aob＋vo—bcdr＝r＝
v小球∶v大球＝π·r）3∶π·r3＝1∶27
内切球与外接球的体积比为1∶27.
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