概统。习题二(解)
1. 下列表中列出的是否为某个随机变量的概率分布？如果是，请写出它们的分布函数。
解 1) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又，所以满足命题2.1的条件，因而是某个随机变量的概率分布。分布函数是。
2) 因为，所以不满足命题2.1的条件，因而不是某个随机变量的概率分布。
3) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又，所以满足命题2.1的条件，因而是某个随机变量的概率分布。分布函数是。
2. 设随机变量只取正整数值，且与成反比，求的概率分布。
解设，其中是待定常数。则根据命题2.1,因此，.
3. 自动生产线在调整以后出现废品的概率为。设生产过程**现废品立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。
解在每次调整后前个产品都是及格品而第个产品是废品的概率是。
因而，设两次调整之间生产的合格品数为，则。
4. 掷一枚非均匀的硬币，出现正面的概率为，若以表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数，求的概率分布。
解对于，前次出现正面，第次出现反面的概率是，前次出现反面，第次出现正面的概率是，因而有概率分布。
5. 一个小班有8位学生，其中有5人能正确回答老师的一个问题。老师随意地逐个请学生回答，直到得到正确的回答为止，求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布。
第1个能正确回答的概率是，第1个不能正确回答，第2个能正确回答的概率是，前2个不能正确回答，第3个能正确回答的概率是，前3个不能正确回答，第4个能正确回答的概率是，前4个都不能正确回答的概率是。
设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为，则有分布。
6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件，在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少？
试用二项分布公式和泊松近似律分别计算。
解设一天中某人收到位朋友的电子邮件，则，一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是。
1) 用二项分布公式计算。
2) 用泊松近似律计算。
7. 设服从泊松分布，且已知，求和。
解设服从参数为泊松分布，则。
解得。因而。
8. 设服从泊松分布，分布律为。
问当取何值时最大？
解设， ,则。
数列是一个递减的数列。
若，则最大。
若，则当且时，最大。
由此得。1) 若，则最大。
2) 若，则。
由上面的1)和2)知，无论或，都有。
9. 设随机变量的概率密度为。求的分布函数，并作出与的图形。解
10. 设随机变量的概率密度为。求常数和的分布函数，并求概率。
解 ,.11. 地板由宽30厘米的木条铺成，在上面随机地放置一个直径40厘米的圆盘，求这个圆盘能接触到3条木条的概率。
解园盘中心离木条的最近的边的距离服从上的均匀分布，圆盘能接触到3条木条大的充分必要条件是，故这个圆盘能接触到3条木条的概率是。
12. 随机变量有密度。求常数和概率。解
由上式得。
13. 设随机变量的密度为。求常数。
解 .由上式得。
14. 设，求和。
解1 解2 设，则。
15. 设，分别找出，使得。其中， ,解1
代入的值查得， ,
解2 设，则。
代入的值查得， ,
16. 随机变量服从二项分布，求的分布函数和的分布。
解有分布。故有分布函数。
有分布。17. 设服从自由度为的分布，即有密度。
求的密度。解1
当时， ,当时， ,
因而。解2 设，则。
设， ,则有反函数。
,其中。因而有密度。
18. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(maxwell)分布，即密度为。
其中参数。求分子的动能的密度。
解1 当时， ,
当时， ,因而。
解2 设，则。
设， ,则有反函数。
,其中。因而有密度。
19. 设服从上的均匀分布，.求的分布。
解1 有密度。有分布函数
解2 有密度。有分布函数
20. 质点随机地落在中心在原点，半径为的圆周上，并且对弧长是均匀地分布的。求落点的横坐标的概率密度。
解设落点极坐标是，则服从上的均匀分布，有密度。
设落点横坐标是，则，的分布函数为。
当时，.当时，.当时。
因而落点的横坐标有概率密度。
21. 设随机变量的概率密度为，求的概率密度。
解 当时，.当时，.当时。
因而落点的横坐标有概率密度。
22. 某商品的每包重量。若要求，则需要把控制在什么范围内。
解设，则。23. 设在上服从均匀分布，随机变量满足方程组。
求和的分布和它们各自落在中的概率。
解解方程组得，.有密度，由推论6.1可得：
有密度。即服从上的均匀分布).
有密度。即服从上的均匀分布).
24. 设随机变量服从在上的均匀分布，求的分布。
解设，则。设。
,则有反函数。
,其中。因而有密度。
25. 设随机变量服从指数分布，求的分布。
解有密度。设，则。设。
,则有反函数。
,其中。因而有密度。
26. 离散型随机向量有如下的概率分布：
求边缘分布。又问随机变量是否独立？
解有分布 有分布
因为。所以，不独立。
27. 根据历史纪录，某地5月份晴天，阴天和雨天的日子各占1/2,1/3和1/6.在5月中随意地选择6天，求这6天当中恰好有三天晴天，两天阴天和一天雨天的概率。
解设这6天中有天晴天和天阴天，则由例4.2,服从三项分布，所求的概率是。
28． 设随机向量服从矩形上的均匀分布，求条件概率。
解 ,.29. 设随机向量有密度。求常数，边缘密度和条件概率。解
由上得。,30. 设和独立，且分别有密度和，求概率。
解有联合密度。
31.设和独立，都服从上的均匀分布，求概率。
解有联合密度。
32. 随机向量有联合密度。
其中。求系数和落在圆内的概率。
解 因而。而。
33. 设随机向量的联合密度是。求系数和落在正方形内的概率。又问是否独立？
解 因而。而。
34. 设的联合密度是。
其中。求系数和边缘密度。解
因而。而。35. 设和独立，密度分别为和，求的密度。
解 36. 设系统由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为串联，并联和备用(当系统损坏时，系统开始工作),如图7.1所示。
和的寿命为和，分别有密度和，其中且。请就这三种联接方式分别写出系统的寿命的密度。
解 ,独立，分别服从参数为和的指数分布，因此分别有分布函数。
和。1) 联接的方式为串联时， ,
2) 联接的方式为并联时， ,
3) 联接的方式为备用时， ,
因此，37.相互独立， ,证明。(提示：称为函数，由微积分的知识知)
解 (见命题a.2.1)
38.相互独立，分别服从自由度为的分布，即。
利用上题的结论证明也服从分布，自由度为。
证 , 由上题知， ,即服从自由度为分布。
39. 某种灯具的使用寿命是随机变量，有密度。每次使用一个灯具，如果损坏了则换上同种的新灯具，分别求两个灯具和三个灯具能够使用的时间的分布。
解1 设三个灯具的使用寿命分别为，和，两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为和，则，.
有密度。即。有密度。
即。解2 设三个灯具的使用寿命分别为，和，两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为和，则，.由于， ,由上面的习题37知，.
40. 设，且相互独立，证明。
证1 由(6.5)式得。由于。
故。上式的被积函数。
是正态分布的密度函数，故上式的定积分为1，因而。
由此知。证2 设， ,由推论6.2知， ,设。
则由(6.5)式得。由于。
故。上式的被积函数。
是正态分布的密度函数，故上式的定积分为1，因而。
第2章答案
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