初中数学教学简报。
从欧几里得和苏格拉底的教学谈起。
—几何教学与信息技术杂谈。
2015 年元月27-29日王鹏远。
2023年12月20日下午，我们以“谈谈信息技术与几何教学”为题与老师们进行了历时约2小时交流。这次谈话的相关资料现已发到网上，主要内容如下：
1. 这次答疑的音频。
2. 专家答疑的ppt（内容提要：几何有趣几何好玩吗？几何是先证出来的，还是先猜出来的？怎么突破几何证明这一关？计算机与几何的发现）
3. 课件演示**5个。
1）“轴对称——台球实验”**；
2）“已知五角星求五角和”**；
3）“ab长还是bc长”**；
4）“已知两三角形为等边三角形，求证两边相等be=dc”**；
5）“求证：∠baf=∠caf”**。
这次交流，同时把语音、ppt课件和课件演示的**传给大家是我们网上培训一次新的尝试，希望我们的服务大家能满意。
据了解，这次参与现场交流的有143位老师，与我们的预期人数还有一段距离，大概是因为期末工作忙，一些老师没有来得及参加所致。现在把有关材料放到网上，给大家提供了网上继续视听的机会，希望这些材料能服务于更多的老师。
关于改进几何教学一直是老师们关注的话题，尽管在12月20日的交流中，我们就四个方面谈了不少意见（详见网上发布的上述资料），但鉴于大家对几何教学和信息技术在几何教学的格外关注和网上交流的时间所限，这期简报对有关话题再做些补充说明，叫做几何教学与信息技术杂谈吧。
一、 几何无王者之路？
下面是大家耳熟能详的一个故事：
据说，亚历山大国王多禄米曾师从欧几里得学习几何，有一次对于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表示不耐烦。 国王问道：“有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的途径？
” 欧几里得答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的难走的小路，一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里，大家只能走同一条路。
走向学问，是没有什么皇家大道的，请陛下明白。” 欧几里得的这番话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言。这就是有名的 “几何无王者之路”的故事。
见到这个故事，作为数学教师的我们会有什么反应呢？一是用这个故事教育学生，学习几何没有捷径，只有走扎扎实实、刻苦学习这条路。二是用课程改革的理念反思欧几里得的教学：
为什么他一遍又一遍地解释他的原理，而国王听得不耐烦？国王代表学生反映的诉求有没有值得教师思考的价值？学习几何的道路难道真是唯一的吗，能否加以改进？
其实，每个人的学习之路都会由于教师的教学方法和自己的基础、个性和学习方法的不同而有所差异。譬如古希腊的哲学家苏格拉底，他的教学方法和教学理念与欧几里得就有所不同。苏格拉底是鼎鼎大名的哲学家柏拉图的老师，柏拉图非常重视数学，在他创立的学院门口竖立了一个牌子“不懂几何者不得入内”，可见当时对几何的重视程度了。
他的老师苏格拉底有一套教学方法，他提倡的“助产法”至今还依然受到人们的重视。苏格拉底认为答案本来就在学生的头脑之中，教师的作用无非是启发诱导，使学生最终凭借自己的头脑完成对某一个问题的认识和解决。他的教学方法与欧几里得不太一样，他更多地关注了学生的心理，不是一遍又一遍地解释他的原理，而是更多采用了启发的方式与学生交流。
这说明，即使在古希腊，教授几何的道路也并不唯一。
两千多年过去了，随着科技的迅猛发展，世间的路发生了翻天覆地的变化。当年“难于上青天”的蜀道今天通上了火车飞机，甚至嫦娥奔月的神话已经变为现实，借助航天技术人们有了奔月之路，今非昔比，世上的路真的是多多了。由此可以考虑，学习几何固然还要下功夫、动脑筋不能偷巧，但借助于科技的进步，教授几何之路不一定非得走得那么艰辛。
联系到当前的教学，有些学生学习的积极性甚至还不如当年的国王，但我们还应该有信心地把他们引上学习几何的新路，因为技术的进步给当今的几何教学注入了强劲的活力。
二、学生天生就不爱学几何吗？
看来还得从兴趣入手，如果没有了兴趣，就谈不上端正学习态度，更谈不上认识学习几何的价值从而明确学习目标。学生刚一升入中学，你跟他讲欧氏几何公理体系在人类文化发展史中的价值，讲理性思维对人的发展的作用，这岂不是笑话！很多老师虽然明白激发兴趣这个道理，却苦于找不到激发学生学习兴趣的方法。
难道学生天生就不爱学几何吗？学生最开始的兴趣从何而来？
先把令人头疼的几何放到一边，我们按照苏格拉底的思维方式先研究一下学生会对什么感兴趣。其实，让学生感兴趣的事务有许多，有看头、有想头的事都能激发他们的兴趣。孩子们在**美轮美奂的烟火表演会兴奋不已，这说明兴趣往往直接起源于视觉的感受。
不止于孩子，看日出，观云海，赏红叶，我们不也通过视觉感官刺激直接获得心情的愉悦吗！其实，从几何的角度看，我们无非在对丰富多彩的图形进行观察和品位，那么在几何的入门教学中可否利用丰富多彩的图形做引子把他们领进几何之门呢？例如，我们可以在几何课上用计算机动态呈现下面的**，学生绝对会感到新奇，此时他们绝对不会害怕几何、厌烦几何。
我们所需要说的仅仅是：由此可以看到“点动成线！”“你们想知道这些奇妙的曲线是怎么画出来的吗？
”“你们想自己动手画出一些美妙的曲线吗？”然后教给他们动手操作。
好奇心和好玩是孩子的天性。让他们长时间地听讲他们会坐不住，有时就会做些“小动作”，例如利用圆规随意画些圆形的图案。其实，我们何尝不可以带他们“玩”呢！
不止利用圆规玩，而且在计算机上玩。例如教给他们在超级画板上画出下面的图。
这是两个随意画的圆，分别在两个圆上取两个动点e、f，连接ef，并在ef上任意取一点g。设想e运动（按第一个动画按钮）时，g点如何运动？如果e、f同时运动，g点如何运动？
（按第一个动画按钮后按第二个动画按钮），设想e转一圈时f同时转三圈，g点如何运动？（这只要改变运动的频率即可非常好操作）如果让点g同时**段ef上往复运动，它又会描绘怎样的曲线？由此还可以提出更多的问题去观察实验。
这不等于让学生在计算机上玩游戏嘛！确实如此。你可能觉得这对学习几何毫无意义，对培养学生的理性思维没有作用。
别着急，学生觉得几何好玩愿意上你的课就达到了我们的目的了，来日方长，以后的事从长计议。当然，一定也会有学生会问这游戏后面的许多 “为什么？”，那就是意外的收获了——无意栽柳柳成行。
三、如何珍惜学生的好奇心启发学生的思考？
好奇是激发学生追求新知的动因，学生的好奇心是需要珍惜爱护的，但我们的教学往往对此重视不够，长此以往学生的好奇心会逐渐淡漠，兴趣也会逐渐消退。
例如讲三角形的主要线段。在介绍了三角形的高线概念之后，我们往往让学生画出三角形的三条高线，然后问学生：“你们发现了什么？
”继而得出三角形三条高线交于一点。其实，这个过程太快了，对于三线共点这件事学生并不会感到多么好奇。
如果改用下面的方式是否效果会好一些呢？
利用三角尺画出三角形abc的两条高线ad和be，设它们交于点h，连接ch，猜猜看ch与ab有什么关系？能否加以验证？对于任意三角形都这样吗？这时再利用超级画板进行动态演示。
能否把你发现的事实用简捷的语言表述出来？可这又为什么呢？除了测量的方法加以验证，我们还有什么方法呢？下面是利用超级画板机器证明功能展示的效果。
当然，我们不期望学生这时看懂证明，留个悬念，让他们仅体会到机器证明的神奇也好。
如果再连接d、e、f三点，问学生是否发现了三角形def的什么主要线段？能否验证？学生又多了些思考。发现原来三角形的三条高线是小三角形的三条角平分线的学生此时又多了一份成就感。
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