前言。这里与大家见面的是数学拓展训练——沙河中心小学校本课程。
根据教师的心声，本着研究、求实的态度，结合课改精神，我们对原校本课程进行了改进。在认真研读现行数学教材的基础上，我们推出这套《数学拓展训练》。内容力求体现：
配套现行教材——在学生已有知识的基础上拓展。
注重素质提高——更全面综合地提高学生的数学素质。
强化思维训练——以知识点为节，由浅入深，层层深入。
本套教材共12册，每年级2册。每册包括10讲。每讲都力争配合课本内容和进度，拓展学生所学数学知识，提高数学思维能力和解决实际问题的能力，为今后进一步学习打下良好的基础。
虽然我们对这套教材进行了改进，但仍难免存在不妥之处，敬请全体教师在使用过程中批评指正，以使本书更加完善。
王立平。2024年9月。
四年级下册。
目录。第一讲速算与巧算。
第二讲定义新运算。
第三讲行程问题（一）
第四讲行程问题（二）
第五讲几何中的计数问题。
第六讲乘法原理。
第七讲加法原理。
第八讲排列问题。
第九讲组合问题。
第十讲排列组合的综合应用。
第一讲速算与巧算。
知识导航：本讲主要运用简算中的常用技巧，使运算达到快速准确。
1、运用运算定律和去括号、添括号的性质，改变运算顺序进行简算。
2、利用和、差、积、商的变化规律进行简算。
3、采用凑整法，将其中已知数转化成整。
十、整百等进行简算。
4、采用“分组”法：先将相邻两个（几个）数作为一组，再求出相等的组值。
5、找“基准数”法：综合数=基准数×加数个数＋累计差。
例1 （1234×5＋5×2468－1234×4）÷11
例2 999999×55556
例3 （1×1＋2×2＋3×3＋……10×10）－（1×2＋2×3＋……8×9＋9×10）
练习一。
×9995×9997×9999－9992×9994×9996×9998的差的末尾数字是几？
第二讲定义新运算。
知识导航。定义新运算是指用加、减、乘、除以外的特定符号规定的一种特定的运算过程或运算顺序。
解题关键是要抓住定义的本质，通过认真观察思考，明确定义所确定的运算规则，再把数值代入算式，按四则运算顺序进行正确计算。
例 1 定义新运算a※b=3×a－b÷2，求①10※6 ②7※（2※4）
解①10※6=3×10－6÷2=27
例2 定义新运算：a※b=，在x※（1※1）=6中，求x的值。
解：x※（1※1）=x※（）6
x※2=6x=1
例3 规定：6△2=6＋66=72
那么：7△5=？
解：7△5=7＋77＋777＋7777＋77777=86415
练习二。1、定义新运算求。
2、定义新运算：
3、如果2※3=2＋3＋4=9，5※4=5＋6＋7＋8=26，那么7※4等于多少？
4、定义新运算：
第三讲行程问题（一）
知识导航：我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，称为行程问题。其基本关系：
1、一个物体运动。
路程=速度×时间。
2、两个物体运动——相遇、相背。
路程=速度和×时间。
例1 快、慢两辆汽车同时从东、西两地相向开出，快车每小时行56千米，慢车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇，东西两地相距多少千米？
解：32×2÷（56－48）=8（小时）
（56＋48）×8=832（千米）
答：东西两地相距832千米。
例2 小明和小强进行100米赛跑，小明跑完全程用16秒，此时小强离终点还有20米，那么小强跑完全程共用多少秒？
解：（100－20）÷16=5（米）
20÷5=4（秒）
4＋16=20（秒）
答：那么小强跑完全程共用20秒。
例3 兄弟两人在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地点朝相反方向跑，从第一次到第二次相遇间隔40秒钟，哥哥每秒跑6米，弟弟每秒钟跑几米？
解：第一次到第二次相遇，刚好跑了一圈，所以速度和为：
400÷40=10（米），弟弟每秒跑10－6=4（米）
答：弟弟每秒跑4米。
练习三。1、看图列式计算。
2、a、b两车分别从距离240千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，a车到达乙地需要4小时，b车到达甲地需要6小时，两车的速度相差多少？
3、甲、乙两人同时从a、b两地相向而行，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，两人在距中点3千米处相遇，a、b两地之间相距多远？
4、一只狮子和狗进行50米来回跑比赛。狗跑一步长2米，狮子跑一步长3米，狗跑4步的时间狮子只能跑3步，谁能胜？
第四讲行程问题（二）
知识导航：1、追及问题是行程问题中一种典型应用题，是同向运动问题。
即：路程差=速度差×追及时间。
2、追及问题中的环线问题：从出发到追上时的路程差正好是一个周长的长度。
例1 夏令营的同学们进行军事演习，从营地出发，以每小时6千米的速度向目的地前进，6小时后，营地有急事，派一名老师骑摩托车以每小时78千米的速度前去通知，多长时间后老师能追上同学们？
解：（6×6）÷（78－6）
0.5（小时）
答：0.5小时后老师能追上同学。
例2 在一条长400米的环形跑道上，两名运动员练习跑步，小张每分钟跑450米，小王每分钟跑250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？
解：400÷（450－250）
2（分钟）答：经过2分钟两人相遇。
练习四。1、小红以每分钟60米的速度从学校步行回家，10分钟后小立从学校骑自行车去追小红，在距学校1080米处追上小红，小立骑自行车的速度是多少？
2、一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，做在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？
3、下图是一个边长100米的正方形，甲从a点出发，每分钟走70米，乙同时从b点出发，每分钟走85米，两人都按逆时钟方向沿着正方形进行，乙在几分钟后首次追上甲？
4、下图a、b是圆的直径的两端，甲从a，乙从b同时出发，按箭头方向行走，甲走一周要15分钟，乙走一周要20分钟，出发后多少分钟甲追上乙？
第五讲几何中的计数问题。
知识导航：要想正确快速数出图形的个数，关键是从基本图形入手，按顺序有规律的数，做到不重复、不遗漏。
例1 如图。
共有（24）个三角形。
例2 如图
共有（21）个长方形。
6＋5＋4＋3＋2＋1=21（个）练习五。
第六讲乘法原理。
知识导航。乘法原理是指做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法…做第几步有m几种不同的方法，那么完成这件事共有n=m1×m2×……m几种不同方法（即每一步都不能单独完成这件事情，需要所有步骤合在一起才能完成这件事情。）
例1 由a村到b村的道路有3条，由b村到c村的道路有2条，从a村经过b村去c村共有多少种不同的走法？
解：3×2=6（种）
答：从a村经过b村去c村共有6种不同的走法。
例2 一个篮球队，五名队员a、b、c、d、e，由于某种原因，c不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上，问：共有多少种不同的站位方法？
解：4×4×3×2×1=96（种）
答：共有96种不同的站位方法。
练习六。1、某人到食堂去买饭，食堂里有4种荤菜，3种素菜，2种汤，他要各买一样，共有多少种不同的买法？
2、从4个男生、5个女生中各选1人担任小组长，应有多少种不同的选法？
3、王芳有六件上衣，五条裤子，三双皮鞋，他能有多少天穿戴装束不同？
4、张老师从长沙到上海参加全国奥数教研培训会，之后再到广州参加全国奥数夏令营活动。其中她从长沙到上海可乘汽车、火车或飞机，而她从上海到广州，可乘火车或飞机，那么她从长沙经上海到广州，共有多少种不同走法？
5、将下图，a、b、c、d、e这五个长方形用红、黄、蓝、绿着色，且相邻部分不能使用同一种颜色，不相邻部分可以使用一种颜色，这幅图共有多少种不同的着色方法？
第七讲加法原理。
知识导航：加法原理是指做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中，有m1种不同的方法，在第二类办法中，有m2种不同的方法……在第n类办法中，有mn种不同的方法。那么完成这件事共有n=m1+m2+mn种不同方法。
（即每一类办法都能独立完成，每一类与另一类不重复，所有这些类型合起来构成这个事情）
例1 一个书架分上中下三层，上层有5本科技书，中层有6本故事书，下层有8本文艺书，小华想拿一本书看，它共有多少种不同的拿法？
解：5＋6＋8=19（种）
答：它共有19种不同的拿法。
例2 如下图，从甲地到乙地有两条路，从乙地到丙地有两条路，从甲地到丁地有四条路，从丁地到丙地有两条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？
解：从甲地经乙地到丙地共有2×2=4种走。
法。从甲地经丁地到丙地共有4×2=8种走。
法。所以从甲地到丙地共有4＋8=12种走法。
例3 6名同学聚会，彼此都相互握手一次，他们最多一共握了多少次手？
解：5＋4＋3＋2＋1=15（次）
答：他们最多一共握了15次手。
练习七。1、一条线段中间再点上5个点，以每两点为端点的线段共有多少条？
四年级下册奥数
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