第三章证明（三）
回顾与思考（二）
山东省青岛市超银中学陈嫦雯。
一、学生知识状况分析。
学生的知识技能基础：学生在八（上）第四章：《四边形性质**中》已经对平行四边形、矩形、菱形、正方形等的判定及性质有所了解，在本章前几节课中，又对这几种图形的判定、性质做了进一步学习，通过一定题量的练习，学生已经对有关内容得以掌握。
学生的能力基础：在相关知识的学习过程中，学生对推理证明的基本要求、基本步骤和基本方法已经掌握，已经能利用这几种图形的判定和性质解决特殊四边形的有关命题，并且也能利用有关知识对**型题目加以分析和证明。
二、教学任务分析。
本章的定理较多，在系统掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质及判定等的基础上，学生还必须能正确地区分它们之间的内在联系和区别，掌握各自的特征，这样才能正确应用相关的知识来解决问题。为了让学生进一步掌握这些定理，并能熟练应用，制定本节课的教学目标为：
通过对纸片的折叠和图形的相互转化的研究，使学生进一步熟练特殊四边形的有关定理。
通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。
通过口述证明过程，相互纠错，增强学生的表达能力和严密的逻辑推理能力。
通过对生活中的图形的研究，使学生更真实地感受数学与生活的联系，让学生进一步感受学习数学的重要性和必要性，从而调动学生学习数学的兴趣。
三、教学过程分析。
本节课设计了五个环节：第一环节：回顾第一课时的知识框架；第二环节：
例题引入（①活动**②证明纠错）；第三环节：练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：
布置作业。
第一环节：回顾第一课时的知识框架。
活动内容：利用2～3分钟的时间，让全班同学采用接龙抢答的方式（即：一个同学说出第一课时的第一个知识点，下一个同学利用抢答的方式说出第二个知识点，若同时站起多人，那么由第一个站起的同学回答）。
活动的目的：通过这个活动，一是调动学生学习的积极性，从而进一步巩固该章的知识体系；二是通过这种方式锻炼学生的反应能力，同时也可以了解学生掌握的熟练程度情况。
活动实际效果：由于带有一定的趣味性，又有时间的限制，学生的热情很高，每个抢答的学生的声音都很大，语速很快，特别是学习成绩落后的学生为了展现自我，在这一环节都争先恐后地抢答，表现极佳。这一环节吸引了全班同学的高度注意力，使学生快速进入课堂状态，同时也激发了学生进一步学习的热情。
第二环节：例题引入。
1、 本章复习题a组第5题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，你能证明吗？
引伸：⑴在这个图形中除△bcd≌△bed外，还有其它的全等三角形，你能找出并证明吗？
⑵当ab=6;bc=8时，你能求出重叠部分的面积吗？
⑶在⑵的条件下对这个图形你还可以作何尝试？
活动内容：1）先让学生看书，解决书上的判定重叠部分的图形形状。这一问题对基础较好的同学来说很容易判定，对于理解较慢的同学老师可以指导其用纸动手折叠一下，通过观察折叠的纸片再加以判断→展示学生的各种思路→让学生口述证明过程并相互纠正证明**现的错误。
2）给出引伸第1问的内容，让学生进行**，主要以提问的方式进行。在这一问中最好调动基础薄弱的学生来完成，这样可以提高他们学习的兴趣，增加他们学习的信心。
3）给出引伸的第2问的内容，可以设置这样几个问题引导学生：若想求重叠部分的面积，需要确定哪些条件？在需要确定的条件中，你已经知道了那个量？
还需要求什么量？题目中给出了二边长分别是6和8，你可以先求出什么量来？通过全等的证明，你可以得到哪些边是相等的？
若引入未知数，你可以列出方程求出fd来吗？你列方程的根据是什么？从中你可以得到什么经验？
4）给出引伸的第3问的内容，让学生充分发挥自己的**兴趣，给学生点思考时间，学生提出问题后，一些可以在课堂上解决，一些可以留作课后思考。
活动目的：培养学生的细致观察能力、培养学生分析并能综合运用所学的知识解决问题的能力、培养学生快速思考快速反应能力、培养学生口头表达能力、培养学生敢于表现自己的精神，从而加强每一个学生学习的自信心。
实际效果：对于课本上的结论的**比较准确，在证明时绝大多数学生是先证明了引伸的第一问后得到bf=df，对于ad∥bc同学们比较忽视，也就是学生还喜欢用三角形全等来证明这类题目。对于引伸第二问的经验，学生总结得很多也很充分，举几例：
王睿同学说以后再看到直角三角形中给定二个边的长度，一定根据勾股定理求一下第三边的长度，看对下边的证明或计算是否有帮助；藏启超同学说对于矩形折叠问题，在某个角儿处可以用勾股定理建立方程；孙晓锐说在这个题目中过f点作bd的高还可以考虑用相似来求底……；对于引伸第三问，学生更是活跃，**问题的热情也空前高涨，学生主要提出以下几个问题：连ec，并求出它的长度；求点e到bc的距离；连ae并求出它的长度。学生提出的前二个问题课堂上就被学生快速分析出来了，由于时间的原因最后一个问题留作了课后思考。
在这一环节中因为安排得比较紧密，学生注意力始终高度集中，每个学生都在极力表现自己，积极发言，相互争辩交流，无论是**还是指正错误，同学都保持最大的热情进行，课堂气氛相当活跃。
2、在△abc中，∠acb=90°，e时ab中点，以a、c、e为定点作平行四边形。
当∠b的大小满足什么条件时，四边形acef是菱形？并证明你的结论。
四边形acef有可能是正方形？为什么？
活动内容：学生对于书上的问题进行猜测**→展示学生的思路→口述证明过程并相互纠正错误。
活动目的：通过这一习题的安排，使学生能更熟练应用特殊四边形的性质对图形进行转化，进一步吸引更多的同学敢于深入学习研究，同时加强在开放性题目添加条件严密性的培养。
实际效果：学生很轻松解决了菱形的证明，但对于引伸的内容，很多人说不清楚。
第三环节：练习提高。
1、 以△abc的三边为边，在bc的同侧做等边三角形△abd、△bce、△acf
⑴判定四边形adef的形状并加以证明。
⑵当△abc满足什么条件时，四边形adef是菱形？
⑶当△abc满足什么条件时，四边形adef是矩形？
当△abc满足什么条件时，四边形adef是正方形？
当△abc满足什么条件时，四边形adef不存在？
活动内容：学生思考→展示过程→相互纠正错误。
活动目的：通过这道题的练习进一步熟练掌握特殊四边形的性质并利用有关性质使图形相互转化，要求学生注意添加条件时要严谨。
活动效果：对于第1问，部分同学很快就找到了思路，而大多数学生能通过观察图形后能得到四边形应该是平行四边形，并且能确定是利用两组边分别相等来证明平行四边形，但没有找到应该是证明哪两个三角形全等。经过老师将边加上颜色的提示，学生很快便找到了证明三角形全等的条件，第二问学生加条件时多数忽视了∠bac≠60°的条件，第三问有些同学加的是∠bac=90°这个错误答案。
因为出现了这些状况，我们临时加了一分钟的反思，学生通过反思，对这样的题目有了更深入的理解。
2 △abc中，d、e、f分别是各边的中点，连接ae、df。
1）ae、df有什么关系？
2）△abc满足什么条件时，ae⊥df？
3）△abc满足什么条件时，ae=df？
4)△abc满足什么条件时，四边形adfe是正方形？
活动目的：本章中还有一重点内容就是三角形中位线定理，通过此题的练习，使学生能够利用三角形中位线定理的有关内容来证明边相等或平行，从而证明出平行四边形。下面的几问在上几个题的基础上又有所加深，学生不仅对判定定理要牢牢掌握，还要对每一种图形的性质快速反应。
活动效果：通过前几例的练习，学生能很快分析并解决这道题目。
2、 实际运用。
你手里只有一把皮尺，你如何能确定教室的门是长方形的？
某公园有一片长方形的草坪，园林师傅希望将其改造成最大的菱形草坪，你可以为他设计一下吗？你能证明你的设计是正确的吗？
活动内容：先让学生各抒己见→相互切磋纠正错误→汇总后得出最正确的答案（注意学生的语言组织）。
活动目的：通过实际问题，让学生进一步感受学习数学的重要性和必要性，通过学生的讨论甚至是动手操作，相互纠正错误，使学生对本章的内容有更牢固的领会和掌握，同时在不断地**过程、纠错过程、反思过程、动手操作过程中，学习优秀的学生也可以不断带动那些学习还有困难的同学，使他们增强了学习数学的兴趣。
实际效果：第一个问题，学生回答得较好，但有个别的同学认为只要测出对角线的长度，看他们是否相等就可以了，而忽视了要判定教室门是否是平行四边形这个条件了；第二题有一些学生认为取各边的中点就是最大的菱形，但是在动手操作后很快就否定了这个想法，且确定了以矩形一条对角线作为菱形的对角线，并且它的中垂线与矩形的边相交后得到的两个点的连线为菱形的另一条对角线，这个菱形面积最大。
第四环节：课堂小结。
活动内容：通过本节课的复习，你取得了哪些经验？（学生总结，老师补充）
活动目的：培养学生的语言组织能力、自我表现能力、综合能力，同时也检测了学生听课的认真程度，从学生的回答中了解不同程度的学生对这节课（或整章）内容掌握的程度。这样做，一是利于下一步的学习安排，更重要的是进一步对该章的重点内容加以巩固，易出现问题的地方加以警示。
活动效果：学生踊跃发言，强调了学习定理的重要性；理解并掌握定理的必要性；要善于在生活中发现与数学有关的问题，并要认真分析思考，利用数学知识解决发现的问题；遇到新题时不能想当然，要谨慎思考，不要出现漏洞；数学其实也不难学，但是基础一定要夯实，然后要有信心不断提高，要适时巩固……
第五环节：布置作业。
1、如图，矩形纸片abcd，把纸片折叠使a、c二点重合，得到折痕ef，连接af、ce，判断四边形afce的形状并加以证明。
2、先用木条制成活动的四边形，再用彩色的橡皮筋顺次连成中点四边形。
1）无论四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状怎样？
2）若四边形的对角线互相垂直，中点四边形的形状是什么？
3）若四边形的对角线相等，中点四边形的形状是什么？
4）若四边形的对角线互相垂直且相等，中点四边形的形状是什么？
5）当活动的四边形二条便在同一直线上时，四边形abcd变成△abd，那么中点四边形的形状怎样？
3、已知直角梯形abcd中ad∥bc,∠b=90°,ab=8,ad=24,bc=26,点p从a点出发，沿ad边以1的速度向点d运动，点q从点c开始沿cb边以3的速度向点b运动，p、q分别从点a、c同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t。
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