2024年1月广东省普通高中学业水平考试。
数学试卷（b卷）
一．选择题：本大题共15小题。 每小题4分，满分60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则（ ）
a. b. c. d.
答案】b【解析】由题意可知。
2. 对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）
a. b. c. d.
答案】b【解析】∵∴选项错误故选b
3. 已知函数，设，则（ ）
a. b. c. d.
答案】c【解析】∵函数。
∴故选c4. 设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）
a. b. c. d.
答案】d 复数的虚部为2∴∴故选d
5. 设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）
a. b. c. d.
答案】c【解析】∵若函数存在零点。
∴∴函数存在零点的充分必要条件是故选c
6. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
a. b. c. d.
答案】b解析】对于，若∥，则，因为，故错误；对于，因为，所以，则，故正确；对于，，，故错误；对于， ，故错误。
故选b7. 某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）
a. 6和9 b. 9和6 c. 7和8 d. 8和7
答案】a男女生的比例为，∵用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动∴男生的人数为，女生的人数为故选a
点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
8. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）
a. b. c. d.
答案】c【解析】由图像可知该空间几何体为长方体，长和宽为2，高为1体积。
9. 若实数满足，则的最小值为（ ）
a. b. c. d.
答案】d【解析】根据已知作出可行域如图所示：
即，斜率为，在处截取得最小值为。
故选d10. 如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）
a. b. c. d.
答案】d【解析】对于，，故错误；对于，，故错误；对于，，故错误。故选d
11. 设的内角的对边分别为，若，则（ ）
a. b. c. d.
答案】a【解析】的内角的对边分别为，且。
根据余弦定理得∵∴故选a
12. 函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）
a. 2和 b. 4和 c. 2和 d. 4和。
答案】a【解析】∵函数。
函数的最大值为2，最小正周期为故选a
13. 设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）
a. b. c. d.
答案】b【解析】∵∵故选b
14. 设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不正确的是（ ）
a. b. c. d.
答案】d【解析】对于，因为是定义在上的奇函数，所以，故正确；对于，因为函数是定义域上的减函数，过原点，且，所以，故正确；对于，设，则当，有最小值为2，所以，因为函数是定义域上的减函数，所以，故正确；对于，因为，所以，因为函数是定义域上的减函数，所以，故错误故选d
15. 已知数列的前项和，则（ ）
a. b. c. d.
答案】c解析】∵当时，，当时。
首项，公比故选c
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。
16. 双曲线的离心率为。
答案】【解析】∵由题可知∴∴离心率故答案为。
17. 若，且，则。
答案】【解析】∵∴故答案为。
18. 笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为。
答案】【解析】第一次为黑色的概率为，第二次为黑色的概率为。
两次都是黑色的概率为故答案为。
19. 圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是。
答案】解析】联立方程组解之得∵圆与直线相切。
圆的半径故答案为。
三．解答题：本大题共2小题。 每小题12分，满分24分。 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
20. 若等差数列满足，且。
1）求的通项公式；
2）设数列满足，，求数列的前项和。
答案】（1）（2）
解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由及，列出方程组即可求解和，从而求出的通项公式；（2）由（1）求出的通项公式，进而求出数列的前项和。
试题解析：（1）设等差数列的公差为。
数列的通项公式为。
2）由（1）知，又适合上式
数列是首项为，公差为的等差数列。
21. 如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂直平分，且分别交于点。
1）证明：；
2）证明：.
答案】（1）见解析（2）见解析。
试题解析：（1）证明：垂直平分为的中点。
又为的中点为的中位线
又 2）证明：连接，为的中点
垂直平分 又， 又 又，
又 点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理等应用，此类题目是立体几何中的常见问题，解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等，试题有一定的综合性，属于中档试题。
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