7. 假定需求函数为q＝mp－n，其中m表示收入，p表示商品**，n(n＞0)为常数。
求：需求的**点弹性和需求的收入点弹性。
解答：由已知条件q＝mp－n，可得。
ed＝－·m·(－n)·p－n－1·＝n
em＝·＝p－n·＝1
由此可见，一般地，对于幂指数需求函数q(p)＝mp－n而言， 其需求的**点弹性总等于幂指数的绝对值n。而对于线性需求函数q(m)＝mp－n而言，其需求的收入点弹性总是等于1。
9.假定某消费者的需求的**弹性ed＝1.3，需求的收入弹性em＝2.2。
求：（1）在其他条件不变的情况下，商品**下降2%对需求数量的影响。
2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高 5%对需求数量的影响。
解答：（1）由于ed＝ ，于是有。
ed×＝－1.3) ×2%)＝2.6%
即商品**下降2%使得需求数量增加2.6%.
2）由于em ＝ 于是有。
＝em·＝2.2×5%＝11%
即消费者收入提高5%使得需求数量增加11%。
5. 已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的**分别为p1＝20元和p2＝30元，该消费者的效用函数为u＝3x1x，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？
解答：根据消费者的效用最大化的均衡条件。
其中，由u＝3x1x可得。
mu1＝＝3x
mu2＝＝6x1x2于是，有。
整理得 x2＝x1 (1)
将式(1)代入预算约束条件20x1＋30x2＝540，得。
20x1＋30·x1＝540
解得 x＝9
将x＝9代入式(1)得。
x＝12将以上最优的商品组合代入效用函数，得。
u*＝3x (x)2＝3×9×122＝3 888
它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3 888。
3.请画出以下各位消费者对两种商品(咖啡和热茶)的无差异曲线，同时请对(2)和(3)分别写出消费者b和消费者c的效用函数。
1)消费者a喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯热茶。
2)消费者b喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独喝咖啡，或者单独喝热茶。
3)消费者c认为，在任何情况下，1杯咖啡和2杯热茶是无差异的。
4)消费者d喜欢喝热茶，但厌恶喝咖啡。
解答：(1)根据题意，对消费者a而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者a的效用水平。消费者a的无差异曲线见图3—2(a)。
图3—2中的箭头均表示效用水平增加的方向。
2)根据题意，对消费者b而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是u＝min。消费者b的无差异曲线见图3—2(b)。
3)根据题意，对消费者c而言，咖啡和热茶是完全替代品，其效用函数是u＝2x1＋x2。消费者c的无差异曲线见图3—2(c)。
4)根据题意，对消费者d而言，咖啡是厌恶品。消费者d的无差异曲线见图3—2(d)。
图3—2 关于咖啡和热茶的不同消费者的无差异曲线。
2. 假设某消费者的均衡如图3—1(即教材中第96页的图3—22)所示。其中，横轴ox1和纵轴ox2分别表示商品1和商品2的数量，线段ab为消费者的预算线，曲线。
图3—1 某消费者的均衡。
u为消费者的无差异曲线，e点为效用最大化的均衡点。已知商品1的**p1＝2元。
1)求消费者的收入；
2)求商品2的**p2；
3)写出预算线方程；
4)求预算线的斜率；
5)求e点的mrs12的值。
解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知p1＝2元，所以，消费者的收入m＝2元×30＝60元。
2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由(1)已知收入m＝60元，所以，商品2的**p2＝＝＝3元。
3)由于预算线方程的一般形式为。
p1x1＋p2x2＝m
所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2x1＋3x2＝60。
4)将(3)中的预算线方程进一步整理为x2＝－x1＋20。很清楚，预算线的斜率为－。
5)在消费者效用最大化的均衡点e上，有mrs12＝，即无差异曲线斜率的绝对值即mrs等于预算线斜率的绝对值。因此，mrs12＝＝。
15. 分别用图分析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。
解答：要点如下：
1)当一种商品的**发生变化时所引起的该商品需求量的变化可以分解为两个部分，它们分别是替代效应和收入效应。替代效应是指仅考虑商品相对**变化所导致的该商品需求量的变化，而不考虑实际收入水平(即效用水平)变化对需求量的影响。收入效应则相反，它仅考虑实际收入水平(即效用水平)变化导致的该商品需求量的变化，而不考虑相对**变化对需求量的影响。
2)无论是分析正常物品还是低档物品，甚至吉芬物品的替代效应和收入效应，都需要运用的一个重要分析工具即补偿预算线。在图3—9中，以正常物品的情况为例加以说明。图3—9中，初始的消费者效用最大化的均衡点为a点，相应的正常物品(即商品1)的需求为x11。
**p1下降以后的效用最大化的均衡点为b点，相应的需求量为x12。即p1下降的总效应为x11x12，且为增加量，故有总效应与**成反方向变化。
图3—9然后，作一条平行于预算线ab′且与原有的无差异曲线u1相切的补偿预算线fg(以虚线表示)，相应的效用最大化的均衡点为c点，而且注意，此时b点的位置一定处于c点的右边。于是，根据(1)中的阐述，则可以得到：给定的代表原有效用水平的无差异曲线u1与代表p1变化前后的不同相对**的(即斜率不同的)预算线ab、fg分别相切的a、c两点，表示的是替代效应，即替代效应为x11x13，且为增加量，故有替代效应与**成反方向变化；代表不同效用水平的无差异曲线u1和u2分别与两条代表相同相对**的(即斜率相同的)预算线fg、ab′相切的c、b两点，表示的是收入效应，即收入效应为x13x12，且为增加量，故有收入效应与**成反方向变化。
最后，由于正常物品的替代效应和收入效应都分别与**成反方向变化，所以，正常物品的总效应与**一定成反方向变化，由此可知，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。
3)关于低档物品和吉芬物品。在此略去关于这两类商品的具体的图示分析。需要指出的要点是，这两类商品的替代效应都与**成反方向变化，而收入效应都与**成同方向变化，其中，大多数低档物品的替代效应大于收入效应，而低档物品中的特殊商品吉芬物品的收入效应大于替代效应。
于是，大多数低档物品的总效应与**成反方向变化，相应的需求曲线向右下方倾斜，低档物品中少数的特殊商品即吉芬物品的总效应与**成同方向的变化，相应的需求曲线向右上方倾斜。
4)基于(3)的分析，所以，在读者自己利用与图3—9相似的图形来分析低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应时，在一般的低档物品的情况下，一定要使b点落在a、c两点之间，而在吉芬物品的情况下，则一定要使b点落在a点的左边。唯有如此作图，才符合(3)中理论分析的要求。
1. 下面(表4—1)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：
表4—11)在表中填空。
2)该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？
解答：(1)利用短期生产的总产量(tp)、平均产量(ap)和边际产量(mp)之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4—2所示：
表4—22)。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表4—2可见，当可变要素的投入量从第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。
3. 已知生产函数q＝f(l， k)＝2kl－0.5l2－0.5k2， 假定厂商目前处于短期生产，且k＝10。
1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量tpl函数、劳动的平均产量apl函数和劳动的边际产量mpl函数。
2)分别计算当劳动的总产量tpl、劳动的平均产量apl和劳动的边际产量mpl各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。
3)什么时候apl＝mpl？它的值又是多少？
解答：(1)由生产函数q＝2kl－0.5l2－0.5k2，且k＝10，可得短期生产函数为。
q＝20l－0.5l2－0.5×102＝20l－0.5l2－50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数。
劳动的总产量函数：tpl＝20l－0.5l2－50
劳动的平均产量函数：apl＝20－0.5l－50\l
劳动的边际产量函数：mpl＝20－l
2)关于总产量的最大值：
令mpl＝20－l＝0
解得 l＝20
且mpl的二阶导数为－1＜0
所以，当劳动投入量l＝20时，劳动的总产量tpl达到极大值。
关于平均产量的最大值：
令apl的一阶导数为0，得－0.5＋50l－2＝0
解得 l＝10(已舍去负值)
且apl的二阶导数为－100l－3＜0
所以，当劳动投入量l＝10时，劳动的平均产量apl达到极大值。
关于边际产量的最大值：
由劳动的边际产量函数mpl＝20－l可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量l＝0时，劳动的边际产量mpl达到极大值。
3)当劳动的平均产量apl达到最大值时，一定有apl＝mpl。由(2)已知，当l＝10时，劳动的平均产量apl达到最大值，即相应的最大值为。
apl的最大值＝20－0.5l－50\l＝10
将l＝10代入劳动的边际产量函数mpl＝20－l，得mpl＝20－10＝10。
很显然，当apl＝mpl＝10时，apl一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为l＝10。
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