清明节补充练习（学有余力的学生完成，不强求）
1、各项均为正数的等比数列中，，若从中抽掉一项后，余下的项之积为，则被抽掉的项是第___项 13
2、已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的取值范围是。
3、设a1，a2，…，an为正整数，其中至少有五个不同值。 若对于任意的i，j(1≤i＜j≤n)，存在k，l（k≠l，且异于i与j）使得ai＋aj＝ak＋al，则n的最小值是 13
4、设tr，若x＞0时均有，则t＝__
5、如果二次方程 ) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有。
___个。 7
6、函数的图象上至少有三个点到原点的距离成等比数列，则公比q的最大值是 .
7、已知中心为o的正方形abcd的边长为2，点m，n分别为线段bc，cd上的两个不同点，且||=1，则的取值范围是。
8、在△abc中，，d是bc边上任意一点（d与b、c不重合），且，则等于 ▲ 75°
9、定义在r上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣2）的图象关于（2，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），若﹣2≤s≤2时，则3t+s的最大值为 ．16
10、已知等差数列的首项及公差均为正数，令当是数列的最大项时。
答案：1006
解析： 因等差数列的首项及公差均为正数，不妨设，则。
故当时取得最大值，故。
11、在中，三个内角的对边为，其中，且。（1）求证：是直角三角形；
2）如图，设圆过三点，点位于劣弧上，求面积的最大值。
解析】（1），即，因为，所以或，即或。
因为，所以，从而，则，所以是直角三角形。
2）由（1）及，得，，设，则。
在中，，所以。
因为，所以。
所以当，即时，取得最大值。
12、如图，游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径．一种是从a沿直线步行到c，另一种是先从a沿索道乘缆车到b，然后从b沿直线步行到c．现有甲、乙两位游客从a处下山，甲沿ac匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从a乘缆车到b，在b处停留1min后，再从b匀速步行到c．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路ac长为1260m，经测量，，．
1）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
2）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
答案】，2）由正弦定理得(m)．乙从出发时，甲已经走了50(2+8+1)=550(m)，还需走710m才能到达．设乙步行速度为，则．解得．∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内．
13、设整数，是平面直角坐标系中的点，其中。
（1）记为满足的点的个数，求；
2）记为满足是整数的点的个数，求。
解：（1）因为满足的每一组解构成一个点p,所以。
2）设，则。
对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：
当n-1被3除余1时，解数一共有：
当n-1被3除余2时，解数一共有：
14、已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列．
1）若数列的前项和为，且，求整数的值；
2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
3）若（其中，且（）是（）的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项。
解：（1）由题意知，，所以由，解得，又为整数，所以。
2）假设数列中存在一项，满足，因为，∴（又=，所以，此与（*）式矛盾。 所以，这要的项不存在。
3）由，得，则
又，从而，因为，所以，故。 又，且（）是（）的约数，所以是整数，且。
对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），有。
由于是正整数，所以一定是数列的项。
15、已知数列满足a1＝m，an＋1＝(k∈n*，r∈r)，其前n项和为sn.
1)当m与r满足什么关系时，对任意的n∈n*，数列都满足an＋2＝an?
2)对任意的实数m，r，是否存在实数p与q，使得与是同一个等比数列？若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；
3)当m＝r＝1时，若对任意的n∈n*，都有sn≥λan，求实数λ的最大值．
解：(1)由题意，得a1＝m，a2＝2a1＝2m，a3＝a2＋r＝2m＋r，由a3＝a1，得m＋r＝0.
当m＋r＝0时，因为an＋1＝(k∈n*)，所以a1＝a3＝…＝m，a2＝a4＝…＝2m，故对任意的n∈n*，数列都满足an＋2＝an.
即当实数m，r满足条件m＋r＝0时，满足题意．
2)依题意，a2n＋1＝a2n＋r＝2a2n－1＋r，则a2n＋1＋r＝2(a2n－1＋r)，因为a1＋r＝m＋r，所以当m＋r≠0时，是等比数列，且a2n＋1＋r＝(a1＋r)2n＝(m＋r)2n.
为使是等比数列，则p＝r.
同理，当m＋r≠0时，a2n＋2r＝(m＋r)2n，则为使是等比数列，则q＝2r.
综上所述，若m＋r＝0，则不存在实数p，q，使得与是等比数列；
若m＋r≠0，则当p，q满足q＝2p＝2r时，a2n＋1＋p}与是同一个等比数列．
3)当m＝r＝1时，由(2)可得a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2，当n＝2k时，an＝a2k＝2k＋1－2，sn＝s2k＝(21＋22＋…＋2k)＋(22＋23＋…＋2k＋1)－3k＝3(2k＋1－k－2)，所以＝3.
令ck＝，则ck＋1－ck
＜0，所以≥，λ
当n＝2k－1时，an＝a2k－1＝2k－1，sn＝s2k－a2k＝3(2k＋1－k－2)－(2k＋1－2)＝2k＋2－3k－4，所以＝4－，同理可得≥1，λ≤1.
综上所述，实数λ的最大值为1.
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