一、检索课题：函数项级数的收敛判别法的推广和应用。
二、选择检索数据库
一）数据库1：中国期刊全文数据库。
检索途径：主题途径。
检索标识：函数项级数。
检索结果：
1.邹**。关于函数级数一致收敛m判别法的两个推论及其运用 [j].河池师专报，1996,16(2).
2.陈妙玲。函数项级数一致收敛判别法 [j].长春理工大写报，2010, 6(5).
3.关冬月。关于一致收敛性的几个问题 [j].内蒙古农业大学报，2003, 24(3).
4.郝新江。**函数项级数一致收敛性的推广和应用 [j]. 吕梁教育学院报，2006,23(3).
5.吴慧伶。正项级数收敛性判别的一个推广 [j].丽水学院学报，2006,28(5).
6.毛一波。函数项级数一致收敛性的判定 [j].重庆文理学院报。2006.5(4).
二）数据库2：sciencedirect
检索途径：主题途径。
检索标识： faction series
检索结果：
thomas f**ent a political pamphleteer? faction and politics in later fourteenth-century london
journal of medieval history, volume 37, issue 4, december 2011, pages 397-418
gwilym dodd
2. sympathy, evolution, and the economist
journal of economic beh**ior & organization, volume 71, issue 1, july 2009, pages 29-36d**id m. levy
3. hypoglycemic effect of belamcanda chinensis leaf extract in normal and stz-induced diabetic rats and its potential active faction
phytomedicine, volume 18, issue 4, 15 february 2011, pages 292-297
chongming wu, yan li, yan chen, xinyuan lao, linghui sheng, rongji dai, weiwei meng, yulin deng
4. dislocation of the state and the emergence of factional politics in post-revolutionary iran
political geography, volume 21, issue 4, may 2002, pages 525-546
saeidi
三、根据检索到的文献线索，获取原文文献（一次或三次文献），在阅读。
这些原文的基础上，请写出一篇与所检索课题内容相关的文章。文章标。
题自拟，要求写出的文章不少于，文后列出参考文献（不少于3
条）。 函数项级数的收敛判别法的推广和应用。
一致收敛性是函数项级数理论的一个核心内容，常见的一致收敛性的判别法有柯西准则、m判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
设函数列与函数[a，b]上一致收敛于，存在n，当n>n时，对一切x∈[a，b]有，存在n，当n>n时，。我们简记为。
若在[a，b]上一致收敛与s（x），则称函数项级数在[a，b]上一致收敛于s(x)，简记为。由定义知，存在n，当n>n时，对一切自然数p和x∈[a，b]成立。
1.1 m-判别法。
设，且收敛，则在[a，b]上绝对一致收敛。
1.2 阿贝尔（abel）判别法。
如果一致收敛；对每个x∈[a，b]关于n单调，且，则在[a，b]上一致收敛。
1.3 狄利克雷(dirichlet)判别法。
如果；对每个x∈[a，b]，关于n单调，且在[a，b]上{}一致收敛于零，则在[a，b]上一致收敛。
1.4 狄尼（dini）定理。
设，（或者），如果在[a，b]上处处收敛于，且，则。
对于级数，设，，若，则在[a，b]上一致收敛于。
应用该定理时，[a，b]必须是有穷闭区间。
对于函数项级数的一致收敛性常用的判别法有上述判别法。下面将函数项级数收敛的一些判别法的应用进行说明，然后将函数项级数收敛的一些判别法推广并证明判别函数项级数一致收敛。
2函数项级数一致收敛性的判定方法的应用。
2.1 cauchy一致收敛准则。
函数项级数在数集d上一致敛的充要条件为：对，总，使得当n>n时，对一切x∈d和一切正整数p，都有。或。或。
特别地，当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：
函数项级数在在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于0。
2.2 dirichlet判别法。
设（1）的部分和函数列在上一直致有界；
2)对每一个，单调；
3）在上，则级数和在上一致收敛。
证明：充分性： 由(1)正数，对一切，有，因此当为任何正整数时，对任何一个，再由(ii)及abel引理，得到。
再由(3)对当时，对一切，有；所以。
于是由一致收敛的cauchy准则级数在上一致收敛。
注：事实上必要性也成立，即已知在上一致收敛，可推出(i)(ii)(ⅲ成立，这里不再赘述。
例： 若数列单调且收敛于0,则级数在上一致收敛。
证明： 由得在上有。
所以级数的部分和函数列在上一致有界，于是令，则由dirichlet判别法可得级数在上一致收敛。
2.3 dini定理。
设在上连续，又在上收敛于连续函数，则函数项级数在一致收敛。
步骤：⑴判定且连续；⑵求和函数；⑶判定求和函数在上连续。
3 函数项级数一致收敛性的判定方法的推广。
3.1 m-判别法的推广。
设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若对一切，有，则函数项级数在上一致收敛。
证明由假设正项级数收敛，根据函数项级数的cauchy准则， ，某正整数，使得当及任何正整数p，有又由对一切，有。
根据函数项级数一致收敛的cauchy准则，级数在上一致收敛。
注：若能用从判定一致收敛，则必是绝对收敛，故m-别法对条件收敛的函数项级数失效。
推论1 设有函数项级数，存在一收敛的正项级数，使得对于有，则函数项级数在区间一致收敛。
例1 函数项级数在上一致收敛，因为对一切有，而正项级数是收敛的。
证明已知，即有即，从而，又因为收敛，则也收敛，由判别法得函数项级数在区间一致收敛。
若能用从判定一致收敛，则必是绝对收敛，故m-判别法对条件收敛的函数项级数失效。
又由广义调和级数，当时收敛，故当=时，有以下推论：
推论2 设有函数项级数，若存在极限且，则函数项级数在区间一致收敛。
例2 证明函数项级数在是一致收敛的。
证明对于，存在收敛的正项级数，且由的推论1与推论2得：
在一致收敛。
由正项级数的达郎贝尔判别法也可以得到相应的关于函数级数项一致收敛的判别法。
有函数列定义于区间上一致有界，且在有界，若，，，有，则函数项级数在区间一致收敛。
证明设对于，有，即，则n=1，假设当n=k-1，
成立。则当n=k，也成立。
所以由数学归纳法可得，，且在i有界，即，所以。
又已知几何级数收敛，所以级数收敛，由m-判别法可知在i一致收敛。
推论3 函数列定义于区间i上，且在i有界，若一，有，则函数项级数在区间i一致收敛。
证明： 因为，即。
有即。通过上述定理可得函数项级数在区间i一致收敛。
例3 判断函数项级数在上一致收敛性。
证明： 因为，且。
由上述推论可以知道函数项级数在上一致收敛性。
由正项级数敛散性的根式判别法，可得m-判别法的另一个推论。
根据定理：有函数项级数，若对有，从而，又已知几何级数收敛，由m-判别法得在i一致收敛。
证明： 因为且，从而，又已知几何级数在i上一致收敛。
参考文献。1] 宋国柱。分析中的基本定理和典型方法。科学出版社，2004.
2] 邹**。关于函数级数一致收敛m判别法的两个推论及其运用 .河池师专报，1996,16（2）.
3] 陈妙玲。函数项级数一致收敛判别法。长春理工大写报，2010，6（5）.
4] 关冬月。关于一致收敛性的几个问题。内蒙古农业大学报，2003,24（3）.
5] 郝新江。**函数项级数一致收敛性的推广和应用，吕梁教育学院报，2006,23（3）.
6] 吴慧伶。正项级数收敛性判别的一个推广。丽水学院学报，2006,28（5）.
7]费定晖，周学圣。吉米多维奇数学分析习题集：第4册。第3版。济南：山东科技大学出版社，2005.
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