培优班寒假作业一 2014-1-14
一、用常规方法计算定积分。
例1】 求下列定积分。
3） （3）令。
例2】 计算下列定积分（分段函数）
二、用特殊方法计算定积分。
例1】 计算下列定积分。
f为连续函数，）
（1）令（2）令，
例2】 设连续函数满足，求。
三、递推公式形式的定积分。
例1】 设。
1） 求证当时，
2） 求。例2】 设，求证： 证令。则
例3】 设。
1） 求证：
2） 求。解（1）
2），当，正整数时。
四、反常积分。
例1】 求下列反常积分的值。
解 （1）用分部积分法可得。
而 2）令，则。
注：x=1是瑕点）
有关变限积分和积分证明题。
一、变上（下）限积分。
设，其中连续，，可导，则。
二、一些证明题的基本技巧。
一、变上（下）限积分。
例1】 设求。
例2】 设 （a为常数）求。
二、证明定积分等式。
例1】 证明等式。
令，则。例2】 设在上连续，求证：
令，则。例3】 证明：当时
令，则。例4】 设，在上连续，证明存在。
使得 令罗尔定理。
三、证明定积分不等式。
例】 设在上连续，且单调不减，证明。
令 有关变限积分和积分证明题。
甲）内容要点。
一、变上（下）限积分。
设，其中连续，，可导，则。
二、一些证明题的基本技巧。
乙）典型例题。
一、变上（下）限积分。
例1】 设求。
解令 ，则。
于是 因此 c=0则
例2】 设 （a为常数）求。
解 二、证明定积分等式。
例1】 证明等式。
证令，则。当时，；当时，；由于在是是单调连续的，故。
例2】 设在上连续，求证：
证令，则。于是，
则 例3】 证明：当时
证令，则。例4】 设，在上连续，证明存在。
使得 证令
可知在上连续，在内可导，且，根据罗尔定理，存在，使。而 则
也即 三、证明定积分不等式。
例】 设在上连续，且单调不减，证明。
证令 于是，
因此，在上，单调不减，则。即 故
预习作业。解析几何 》测试题1
一、判断题(每题2分，共16分)
1．若，则存在实数x，使得。(
2．若，则。 (
4．在空间直角坐标系下，若则。 (
5．平面在x，y，z轴上的截距分别为2，3，4。 (
6．方程表示一椭圆曲线。 (
7．直线与平面平行。 (
二、选择题(每题2分，共16分)
1．下列各式正确的是 (
a、 b、c、 d、
2．关于x轴的对称点的坐标是 (
a b、 c d
3．下列方程表示锥面的是 (
a、 b、c、 d、
4．下列各对直线互相平行的是 (
a、与。b、与。
c、与。d、与。
5．平面与平面的位置关系是 (
a、相交但不垂直 b、垂直。
c、重合 d、平行。
6．下列各点在平面的同侧的是 (
a、， b、，c、， d、，7．表示的曲面是。
a、双曲抛物面 b、双叶双曲面。
c、单叶双曲面 d、椭圆抛物面。
8、已知球面方程是。
a、球面上 b、球面内 c、球面外 d、球心。
三、填空题(每题3分，共18分)
1．已知=，=与y轴垂直，则。
2．平面的法式方程为 。
3．曲面与的交线在xoz面上的射影柱面的方程为。
4．曲线绕z轴旋转所得曲面方程为 。
5．点p(2,0,－1)关于直线的对称点为。
6．二次曲线的直径的一般方程为。
四、计算题(共40分)
1(8分)．判别矢量是否共面，若不共面，求以它们为三条棱的平行六面体的体积。
2(10分)．求通过平面4x－y＋3z－1＝0与x＋5y－z＋2＝0的交线且与平面垂直的平面方程。
3(12分) 已知两异面直线，试求与间的距离与它们的公垂线方程。
4(10分)．已知圆柱面的轴为，点在此圆柱面上，求它的方程。
5.求二次曲线通过点(2,1)的切线方程。（10分）
作业二。1. **matlab7.0
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3. 学习画图。
作业三。2023年江苏省普通高等学校非理科专业。
第五届高等数学（本科一级）竞赛试卷。
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上。）
1）设，则。
4）通过直线 l1： l2： 的平面方程是。
5）设，由方程确定（f为任意可微函数），则。
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。）
1）对于函数，点是。
a）连续点b）第一类间断点。
c）第二类间断点d）可去间断点。
2）设可导，，若欲使可导，则必有 （
ab）cd）
a）等于1b）等于0
c）等于－1d）不存在。
4）若都存在，则。
a）极限存在但不一定连续 （b）极限存在且连续。
c）沿任意方向的方向导数存在 （d）极限不一定存在，也不一定连续。
5）设为常数，则级数。
a）绝对收敛b）条件收敛。
c）发散d）收敛性与取值有关。
三、（本题满分6分）
设连续，，，求
四、（本题满分6分）
已知函数由方程组确定，求
五、（本题满分6分）
设上可微且，证明存在一点，使得。
六、（本题满分6分）
设， 求 七、（本题满分6分）
已知由方程和确定，求。
八、（本题满分8分）
过抛物线上一点（）作切线，问为何值时所作切线与抛物线所围成的图形面积最小。
九、（本题满分8分）
求级数的和。
十、（本题满分8分）
设在区间上连续且大于零，试用二重积分证明不等式。
十一、（本题满分8分）
已知两个球的半径分别是a和且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那一部分的体积。
十二、（本题满分8分）
计算曲面积分 ，其中为曲面，
2023年江苏省普通高等学校非理科专业。
第六届高等数学（本科一级）竞赛试卷。
一、填空题（每小题5分，共40分，把答案填在题中横线上）
1）设，则。
2）设在上可导，下列结论中成立的是。
a）若，则上有界。
b）若，则上无界。
c）若，则上无界。
3）设由确定，则。
5）曲线在点（1，1，2）的切线的参数方程为。
6）的二阶导数连续，的二阶偏导数连续，则 .
7）交换积分次序。
8）幂级数的收敛域为。
二、（8分） 设，求证
三、（8分） 设在上连续，，求证内至少有两个零点。
四、（8分） 求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与所包围的立体的体积。
五、（9分） 设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散？
六、（9分） 设试讨论在点（0，0）的连续性，可偏导性与可微性。
七、（9分） 设可导，求。
八、（9分） 设曲线ab的极坐标方程为，一质点p在力的作用下沿曲线ab从点a（0，－1）运动到点b（0，1），力的大小等于点p到定点m（3，4）的距离，其方向垂直于线段mp，且与y轴正向的夹角为锐角，求力对质点p所作的功。
2023年江苏省普通高等学校非理科专业。
第七届高等数学（本科一级）竞赛试卷。
新寒假作业
八年级寒假作业。1 复习背诵 规 从 规，圣人训 到 上循分，下称家 开学时检查背诵。2 挑选一本自己喜爱的课外书，在寒假期间阅读完，并做读书笔记。要求 1 摘抄的字数不少于。2 写一篇读后感，字数不少于。3 学做一道荤菜 用肉烧的菜 要求 1 写下烧菜的步骤。2 写下自己烧菜的感受 认真完成作业的...
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一 4 班寒假作业以及放假开学通知。1 完成 快乐寒假 2 两篇日记 过年了 走亲戚 逛花市 买年货 去旅游 选择其中的两个主题完成两篇。写在这学期的写话本上。3 读课外书5本。两本绘本 其它自定 4 读完 窦桂梅叫你阅读 这本书，练习不做，但是文章一定要读，请大声反复朗读，每篇文章读3遍。5 自编...