【例3】若，且，试证明．
分析】由题意可知函数在无穷远点的某个左邻域[即]内有二阶导数，在题意中没给出更高阶的导数是否存在的条件，就不能用了．
这里的极限问题的趋限过程不像上面的是趋向于0或者可以转化为趋向于0，所以，余项的形式也不能取皮亚诺余项的形式了．
所以要展开泰勒公式，只能展开到一阶为止，把二阶导数作为拉格朗日余项表达式的需要．
由于最后要证明（计算）的是，所以展开的基点只能取，而中的应该取一个常数，例如就取．
解】写出函数在基点处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，所以有。
在此等式两边同时取时的极限，其中，由可知在时有， ，所以有。
例4】设在上具有二阶导数，且满足条件，，其中、为非负常数．证明对任意，有．
分析】 一般给出条件中函数有二阶导数，则可用以二阶导数作为余项的一阶泰勒公式来证明，展开基点的选定可综合考察题目所给定条件及所需证之结论，这里为便于将结论中的表示出来，可将基点选取在内任意取定的点处．
证明】在上具有二阶导数，则由泰勒展开式得。
在与之间．
分别令，得。
，两式相减，得。
于是。由于在时，有，所以。
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