武汉大学第三十三届学习竞赛试题。
数学应用能力。
零售商的销售计划。
零售商每天清晨购进某种商品零售，晚上将未卖掉的商品退回。设商品每件的购进价为，零售价为，退回价为，显然。零售商每天如果购进的商品太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。
应该根据需求量确定购进量，而需求量是随机的。假定零售商已经通过自已的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天商品的需求量为件的概率是。
1、设零售商每天购进件商品，试推证为了获得最大收入，零售商每天购进商品的最佳数量满足：
2、通常和都相当大，如果将和视为连续变量，这时概率转化为概率密度函数，试推证最佳购进量应满足的关系式。
参考解答。1、记零售商每天的平均收入为，若，则售出件，退回件；若，则件全部售出，故。
由最佳购进量满足，可得。
同理由，可得。
故。2、此时
由，可得最佳购进量满足。
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