每日一练（10） 答案。
1.已知。（i）求sinx－cosx的值； （求的值。
解：（ⅰ由。即 又故。
2.如图，在六面体中，四边形abcd是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面abcd,
ⅰ)求证：与ac共面，与bd共面。
ⅱ)求证：平面。
ⅲ)求二面角的大小(用余弦值表示).
解法1（向量法）：以d为原点，以da,dc,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有。
a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），ⅰ证明：
于是与ac共面，与bd共面。
ⅱ）证明：
内的两条相交直线，
又平面。ⅲ）解： 设。于是。
设于是。解法2（综合法）：（证明：
平面abcd.
于是∥cd，∥da.设e，f分别为da，dc的中点，连结ef，有∥∥
∥于是∥由de=df=1,得ef∥ac，故∥与ac共面。
过点 于是。
所以点o在bd上，故。
ⅱ）证明：又bd⊥ac（正方形的对角线互相垂直），内的两条相交直线，
又平面。ⅲ)解：∵直线db是直线根据三垂线定理，有ac⊥
过点a在平面则。
于是所以，∠amc是二面角。
根据勾股定理，有。
3．如图，m是抛物线上y2=x上的一点，动弦me、mf分别交x轴于a、b两点，且ma=mb.
i）若m为定点，证明：直线ef的斜率为定值；
ii）若m为动点，且∠emf=90°，求△emf的重心g的轨迹方程。
解：（i）设，直线me的斜率为k (k>0)，则直线mf的斜率为－k，故直线ｍe的方程为：。
由消去得，解之得：
于是。同理可得，.
故（定值）.所以直线ef的斜率为定值。
ii）当时，，所以，所以直线me的方程为：，由得，同理可得。设重心，则有，消去参数得。
每日一练 10
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