考点跟踪突破13 全等三角形。
一、选择题。
1．如图，△abc≌△aef，ab＝ae，∠b＝∠e，则对于结论：①ac＝af，②∠fab＝∠eab，③ef＝bc，④∠eab＝∠fac，其中正确结论的个数是( c )
a．1个 b．2个。
c．3个 d．4个。
第1题图) ,第2题图)
2．(2015·宁波)如图，abcd中，e，f是对角线bd上的两点，如果添加一个条件，使△abe≌△cdf，则添加的条件不能为( c )
a．be＝df b．bf＝de
c．ae＝cf d．∠1＝∠2
3．如图，o是∠bac内一点，且点o到ab，ac的距离oe＝of，则△aeo≌△afo的依据是( a )
a．hl b．aas
c．sss d．asa
4．(2015·**)如图，正方形abcd的边长为6，点e，f分别在ab，ad上，若ce＝3，且∠ecf＝45°，则cf的长为( a )
a．2 b．3
c. d.
点拨：延长fd到g，使dg＝be，连接cg，ef，∵四边形abcd为正方形，在△bce与△dcg中，∴△bce≌△dcg(sas)，∴cg＝ce，∠dcg＝∠bce，∴∠gcf＝45°，在△gcf与△ecf中，∴△gcf≌△ecf(sas)，∴gf＝ef，∵ce＝3，cb＝6，∴be＝＝＝3，∴ae＝3，设af＝x，则df＝6－x，gf＝3＋(6－x)＝9－x，∴ef＝＝，9－x)2＝9＋x2，∴x＝4，即af＝4，∴gf＝5，∴df＝2，∴cf＝＝＝2，故选a
二、填空题。
5．如图，已知△abc≌△ade，d是∠bac的平分线上一点，且∠bac＝60°，则∠cae＝__30°__
第5题图) ,第6题图)
6．(2015·南昌)如图，op平分∠mon，pe⊥om于e，pf⊥on于f，oa＝ob，则图中有__3__对全等三角形．
7．如图，在rt△abc中，∠bac＝90°，ab＝ac，分别过点b，c作过点a的直线的垂线bd，ce，若bd＝4 cm，ce＝3 cm，则de＝__7__cm.
三、解答题。
8．如图，在等边三角形abc中，点d，e分别是ab，bc延长线上的点，且bd＝ce.
求证：dc＝ae.
解：∵△abc是等边三角形，∴∠abc＝∠acb＝60°，bc＝ca，∴∠dbc＝∠eca＝180°－60°＝120°，在△dbc与△eca中，∴△dbc≌△eca，∴dc＝ae
9．(2009·陕西)如图，在平行四边形abcd中，点e是ad的中点，连接ce并延长，交ba的延长线于点f.
求证：fa＝ab.
解：∵四边形abcd是平行四边形，∴ab＝dc，ab∥dc，∴∠fea＝∠dec，∠f＝∠ecd，又∵ea＝ed，∴△afe≌△dce，∴af＝dc，∴af＝ab
10．如图，b，c，e三点在同一条直线上，ac∥de，ac＝ce，∠acd＝∠b.求证：bc＝de.
解：∵ac∥de，∴∠acd＝∠d，∠bca＝∠e，又∵∠acd＝∠b，∴∠b＝∠d，在△abc和△cde中，∴△abc≌△cde(aas)，∴bc＝de
11．如图，在abcd中，e是ca延长线上的点，f是ac延长线上的点，且ae＝cf.求证：
1)△abe≌△cdf；
2)be∥df.
解：(1)∵四边形abcd是平行四边形，∴ab∥cd，ab＝cd，∴∠bac＝∠dca，∵∠bac＋∠bae＝∠dca＋∠dcf＝180°，∴bae＝∠dcf，∵ae＝cf，∴△abe≌△cdf (2)∵△abe≌△cdf，∴∠e＝∠f，∴be∥df
12．(2015·延安模拟)如图，△abc为等边三角形，ae＝cd，ad，be相交于点p，bq⊥ad于q.
1)求证：△adc≌△bea；
2)若pq＝4，pe＝1，求ad的长．
解：(1)证明：∵△abc是等边三角形，∴ac＝ab，∠c＝∠bae＝60°，在△adc与△bea中，∴△adc≌△bea(sas) (2)∵△adc≌△bea，∴∠dac＝∠eba，ad＝be，∵∠bpq＝∠bap＋∠abp，∴∠bpq＝∠bap＋∠dac＝60°，∵bq⊥ad，∴∠bqp＝90°，∴pbq＝30°，∴bp＝2pq，∵pq＝4，∴bp＝8，∵pe＝1，∴be＝bp＋pe＝9，∴ad＝be＝9
13．如图1，在△abc中，ab＝ac，点d是bc的中点，点e在ad上．
1)求证：be＝ce；
2)如图2，若be的延长线交ac于点f，且bf⊥ac，垂足为f，∠bac＝45°，原题设其它条件不变．求证：△aef≌△bcf.
解：(1)∵ab＝ac，d是bc的中点，∴∠bae＝∠eac，在△abe和△ace中，∴△abe≌△ace(sas)，∴be＝ce (2)∵∠bac＝45°，bf⊥af，∴△abf为等腰直角三角形，∴af＝bf，∵ab＝ac，点d是bc的中点，∴ad⊥bc，∴∠eaf＋∠c＝90°，∵bf⊥ac，∴∠cbf＋∠c＝90°，∴eaf＝∠cbf，在△aef和△bcf中，∴△aef≌△bcf(asa)