第十讲比和比例。
一、问题简介。
1)基本慨念。
比例作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，在应用题的各种类型中， 有一类与数量之间的（正、反）比例有关。 这一部分内容也是小升初考试的重要内容。它包括以下几个主要内容：
1）比：两个数相除又叫做两个数的比，例如5÷6可记作5:6；
2）比例：表示两个比相等的式子叫作比例，例如，3:7=9:21;
3）比例的基本性质：组成比例的四个数叫做比例的项，比例中两个外项的积。
等于两个内项的积叫比例的基本性质；
4）连比：两个以上的数的比叫做连比，连比满足比例的基本性质，也就是a:b:c=na:nb:nc(n≠0);
把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如甲：乙=5:
6， 乙：丙=4:3，因为［6,4］=12，所以5:
6=10:12, 4:3=12:
9, 得到甲：乙：丙=10:
12:9。
5）正比例：如果两种相关联的量x、y，可以写成=k,期中k是一个定值，那么称x、y为成正比例的量；
6）反比例：如果两种相关联的量x、y，可以写成x×y=k,其中k是一个定值，那么称x、y为成反比例的量。
2）比和比例的性质。
性质1：若a:b=c:d,则（a﹢c）:(b﹢d）=a：b=c:d；
性质2：若a:b = c:d ,则（a﹣c）:(b﹣d) =a:b = c:d
性质3：若a:b = c:d,则（a﹢xc）:(b﹢xd）= a:b =c:d;(x为常数）
性质4: 若a:b = c:d,则a×d=b×c;(即外项积等于内项积）
3）主要比例转化实例。
==;其中m≠0)
=，=x: y: z=ac: bc: bd
2、常见题型和方法。
1）比例转化。
有些题目中已知的分率对应的单位“1”不统一，这时就需要我们统一转化比例！
例1、已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求甲：乙： 丙。
练习1：某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2.
分为甲、乙、丙三组。已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:
7；甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男女会员的人数之比是5：3。
求丙组中男、女会员人数之比。
例2、北京中****会男女运动员比例为19:12.组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20:
13；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30:19。已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？
练习2：袋子里红球与白球的数量之比是19:13。
放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3；在放入若干只白球后，红球与白球的数量之比变为13:11。
已知放入的红球比白球少80只。那么原来袋子里共有多少只球？
2）按比例分配与和差倍关系。
1、按比例分配与和倍关系。
将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比例为a:(a+b)和b:
(a+b),所以甲分配到个，乙分配到个；对于两组以上的物体的分配问题，也可以通过类似方法建立各组的分配数与总数的数量的关系。
例3、加工一个零件，甲要2分钟，乙要3分钟，丙要4分钟，现有1170个零件，甲、乙、丙三人各加工几个零件，才能使得他们同时完成任务？
练习3：小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4：6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量。
例4、有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮球？
练习4: a、b、c 三个水桶的总容积是1440公升。如果a、b两桶装满水，c桶是空的；若将a桶水的全部和b桶水的，或将b桶水的全部和a桶水的倒入c桶，c桶都恰好装满。
求 a、b、c三个水桶容积各是多少公升？
例5、有一个长方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2。表面积为72平方厘米，求这个长方体的体积。
练习5:有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2。已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积。
2、按比例分配与差倍关系。
两个类别a、b，元素的数量之比为a:b(这里a>b），数量差为x，那么a的元素数量为，b的元素数量为，所以解题的关键是求出（a-b）与a或b的比值；对于两组以上的物体的分配问题，也可以通过类似方法建立各组的分配数与总数的数量关系。
例6、一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？
练习6：师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟，完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？
例7、在抗洪救灾活动中，甲、乙、丙三人一个捐了80元。已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐多少元，乙捐多少元，丙捐多少元？
练习7:某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元。
一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5:6，中型车与小型车之比是4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元。
1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？
2）这天的收费总数是多少元？
3、利用不变量统一份数。
复杂比例问题里面，比例对应的量大小发生变法，此时我们于鏊找出不变量，找到某个量在不变量下对应的份数来解题！
例8、一班和二班的人数之比是8:7，如果将一般的8名同学调到二班去，则一般和二班的人数之比变为4:5。求原来两班的人数。
练习8：甲、乙两校原有图书本数的比书7:5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3:4。原来甲校有图书多少本？
例9：有两块重量相同的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的重量比是2:5,第二块合金中铜与锌的重量比是1:
3。现在把这两块合金合铸成一块大的，求合铸所成的合金中铜与锌的重量之比。
练习9：两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3:
1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。若吧两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？
例10、a、b两种商品的**比是7:3。如果它们的**分别**70元，它们的**比就是7:4，这两种商品原来的**各是多少元？
练习10：甲、乙书架上书的数量之比是4:7，两书架上各增加154本后，甲、乙书架上书的数量之比变成了5:6，求甲、乙两书架上原来各有多少本书？
4、利用方程解复杂比例问题。
有些比例问题里面关系比较复杂，此时我们可以考虑用应用题的通法＿＿方程法来解！
例11、有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量。
练习11：某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3，结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8:
5。未被录取的学生中，男生与女生的人数之比是3:4。
嗯报考的共有多少人呢？
例12、某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%,售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？
练习12：两根粗细相同、材料相同的蜡烛，长度比为29:26，燃烧50分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比为11:19，那么较长的那根还能燃烧多少分钟？
第十一讲工程问题。
1、问题简介。
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是。
工作量=工作效率×时间。
在小学数学中，**这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。工程问题的实质是工作量、工作时间和工作效率之间的关系问题。工程问题的解题思路和行程问题相似，需要找出三个基本量之间的关系，通过三个基本量之间的换算找出解题方法。
解决工程问题首先弄清工程问题中这三个量的关系：
工作量=时间×工作效率。
时间=工作量÷效率。
效率=工作量÷时间。
其中，工作量：工程问题中的工作量是工程问题中的总体量，在未知情况下，常假设工作量为1：
时间：工程问题中的时间是工程问题的因子量：
效率：和时间一样，效率也是工程问题的因子量，其地位和形式与时间类似。
二、常见题型和方法。
工程问题如果我们按照参与“工作”的“人数”分，那么可以分成涉及两者、多者的工程问题，以及水管问题和周期问题，而工程问题中常见的几种解题方法有整体分析法、组合法、等量代换法、比例法、列表法、方程法等！抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案。一般情况下，工程问题求的是时间。
1）常见题型。
1、二者的工程问题。
例1、一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12时间，如果乙单独做需要多少时间？
练习1：一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？
例2：甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务。如果甲单独加工，便需要12小时完成。
现在甲、乙两人共同生产了2小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务。问乙一共加工零件多少个？
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