2023年1月---2月初中数学寒假思考题。
一．解答题（共30小题）
1．（2013资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛a正南方距岛60海里的b处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的c处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2小时候海监船到达d处，与此同时日本渔船到达e处，此时海监船再次发出严重警告．
1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？
2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段ac上的f处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达f处？（注：①中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/小时；②参考数据：
sin26.3°≈0.44，sin20.
5°≈0.35，sin18.1°≈0.
31，≈1.4，≈1.7）
2．（2013自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头mn（如图），在码头西端m的正西19.5km处有一观察站a．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于a的北偏西30°，且与a相距40km的b处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于a的北偏东60°，且与a相距km的c处．
1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头mn靠岸？请说明理由．
3．（2013盐城）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点e到地面的距离ef．经测量，支架的立柱bc与地面垂直，即∠bca=90°，且bc=1.5m，点f、a、c在同一条水平线上，斜杆ab与水平线ac的夹角∠bac=30°，支撑杆de⊥ab于点d，该支架的边be与ab的夹角∠ebd=60°，又测得ad=1m．请你求出该支架的边be及顶端e到地面的距离ef的长度．
4．（2013资阳）如图，四边形abcd是平行四边形，过点a、c、d作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为e，连结ce，点a、b、d的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．
1）求抛物线的解析式；
2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点f，交线段cd于点k，点m、n分别是直线l和x轴上的动点，连结mn，当线段mn恰好被bc垂直平分时，求点n的坐标；
3）在满足（2）的条件下，过点m作一条直线，使之将四边形aecd的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．
5．（2013珠海）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形oabc的边oa、oc分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），d为边ab的中点，一抛物线l经过点a、d及点m（﹣1，﹣1﹣m）．
1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
2）把△oad沿直线od折叠后点a落在点a′处，连接oa′并延长与线段bc的延长线交于点e，若抛物线l与线段ce相交，求实数m的取值范围；
3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点p到达最高位置时的坐标．
6．（2013重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为b（5，0），另一个交点为a，且与y轴交于点c（0，5）．
1）求直线bc与抛物线的解析式；
2）若点m是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点m作mn∥y轴交直线bc于点n，求mn的最大值；
3）在（2）的条件下，mn取得最大值时，若点p是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以bc为边作平行四边形cbpq，设平行四边形cbpq的面积为s1，△abn的面积为s2，且s1=6s2，求点p的坐标．
7．（2013镇江）“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，**中x=1时的y值表示7：
00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存量…依此类推．他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．
根据所给图表信息，解决下列问题：
1）m解释m的实际意义。
2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
3）已知9：00～10：o0这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．
8．（2013张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点c（0，1），顶点为q（2，3），点d在x轴正半轴上，且od=oc．
1）求直线cd的解析式；
2）求抛物线的解析式；
3）将直线cd绕点c逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点e，求证：△ceq∽△cdo；
4）在（3）的条件下，若点p是线段qe上的动点，点f是线段od上的动点，问：在p点和f点移动过程中，△pcf的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
9．（2013枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于a、b两点，a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，﹣3）点，点p是直线bc下方的抛物线上一动点．
1）求这个二次函数的表达式．
2）连接po、pc，并把△poc沿co翻折，得到四边形pop′c，那么是否存在点p，使四边形pop′c为菱形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．
3）当点p运动到什么位置时，四边形abpc的面积最大？求出此时p点的坐标和四边形abpc的最大面积．
10．（2013玉林）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于a，b（a，b分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点c，顶点为d，已知a（﹣1，0）．
1）求点b，c的坐标；
2）判断△cdb的形状并说明理由；
3）将△cob沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△qpe．△qpe与△cdb重叠部分（如图中阴影部分）面积为s，求s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
11．（2013宜宾）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点a，交y轴于点b，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点c．
1）请直接写出抛物线y2的解析式；
2）若点p是x轴上一动点，且满足∠cpa=∠oba，求出所有满足条件的p点坐标；
3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点q，使得△qoc中oc边上的高h有最大值？若存在，请求出点q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．
12．（2013扬州）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣8交y轴于点a，交x轴正半轴于点b．
1）求直线ab对应的函数关系式；
2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点a、b之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线ab和抛物线截得两线段mn、pq，设m点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段mn与pq的大小．
13．（2013盐城）如图①，若二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于a（﹣2，0），b（3，0）两点，点a关于正比例函数y=x的图象的对称点为c．
1）求b、c的值；
2）证明：点c在所求的二次函数的图象上；
3）如图②，过点b作db⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点d，连结ac，交正比例函数y=x的图象于点e，连结ad、cd．如果动点p从点a沿线段ad方向以每秒2个单位的速度向点d运动，同时动点q从点d沿线段dc方向以每秒1个单位的速度向点c运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结pq、qe、pe．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使pe平分∠apq，同时qe平分∠pqc？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
14．（2013雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过a（﹣3，0），b（1，0），c（0，3）三点，其顶点为d，对称轴是直线l，l与x轴交于点h．
1）求该抛物线的解析式；
2）若点p是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△pbc周长的最小值；
3）如图（2），若e是线段ad上的一个动点（ e与a、d不重合），过e点作平行于y轴的直线交抛物线于点f，交x轴于点g，设点e的横坐标为m，△adf的面积为s．
求s与m的函数关系式；
s是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点e的坐标； 若不存在，请说明理由．
15．（2013徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点a（﹣3，0）和点b，以ab为边在x轴上方作正方形abcd，点p是x轴上一动点，连接dp，过点p作dp的垂线与y轴交于点e．
1）请直接写出点d的坐标。
2）当点p**段ao（点p不与a、o重合）上运动至何处时，线段oe的长有最大值，求出这个最大值；
3）是否存在这样的点p，使△ped是等腰三角形？若存在，请求出点p的坐标及此时△ped与正方形abcd重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
16．（2013新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于a、b两点，过点a的直线l与抛物线交于点c，其中a点的坐标是（1，0），c点坐标是（4，3）．
1）求抛物线的解析式；
2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点d，使△bcd的周长最小？若存在，求出点d的坐标，若不存在，请说明理由；
3）若点e是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线ac的下方，试求△ace的最大面积及e点的坐标．
17．（2013咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市**出台了相关政策：由**协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由**承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么**这个月为他承担的总差价为多少元？
2019思考题作业
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2019思考题答案
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