第 ⅰ 卷。
一．选择题：本卷共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的．
1．是虚数单位，复数（ ）
解】．故选ａ．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
解】画出可行域如图，直线经过时，目标函数取得最大值，所以．故选ｂ．
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
解】第一步得，；
第二步得，；
第三步得，；
第四步得，；
到第四步，不是大于，因此输出，所以输出的．故选ｂ．
4．函数的零点所在的一个区间是（ ）
解】因为，所以函数的零点所在的一个区间是．故选ｃ．
5．下列命题中，真命题是（ ）
．，使函数是偶函数
．，使函数是奇函数
．，使函数都是偶函数
．，使函数都都是奇函数
解】当时，函数是偶函数，故选ａ．
此外，，函数都都不是奇函数，因此排除ｂ，ｄ
若，则函数既不是奇函数也不是偶函数．因此排除ｃ．
6．设，，，则（ ）
解】因为，所以，所以，故选ｄ．
7．设集合，．若，则实数的取值范围是。
ａ． b． c． d．
解】集合化为，又。
因为，则或，即或．故选ｃ．
8．右图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上的所有的点（ ）
．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。
．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变。
．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。
．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变。
解】解法1．如图，平移需满足，解得．因此首先将的图象上的所有的点向左平移个单位长度，又因为该函数的周期为，于是再需把的图象上的所有的点横坐标缩短到原来的倍．故选ａ．
解法2．由已知图象得解得，又，所以图中函数的解析式是，因此该函数的图象是将的图象上的所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到的．故选ａ．
9．如图，在中，，，则（ ）
解】设，则，．又，，则．
解法1． ．因为，所以．
因为是直角三角形，所以．
于是．故选ｄ．
解法2． 故选ｄ．
解法3．设，则，在中，由正弦定理得，即，所以，．
故选ｄ．解法4．根据题意，建立如图的直角坐标系。．则．
设，于是，．
为此，只需求出点的横坐标．
作轴于．由，则，于是，于是．．即点的横坐标．所以．故选ｄ．
10．设函数，则的值域是（ ）
解】解得，则或．
因此的解为．于是。
当或时，．当时，，则，又当和时，，所以．
由以上，可得或，因此的值域是．故选ｄ．
第 ⅱ 卷。
二．本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．
11．如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点．若，．则的值为 ．
解】．因为四边形是圆的内接四边形，所以，又，所以．
于是．因为，，，所以，．
12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
解】．设几何体的体积为，则．
13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为 ．
解】．由题设可得双曲线方程满足，即．于是．又抛物线的焦点为，则．与，于是．所以双曲线的方程．
14．．已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为。
解】．直线与轴的交点为．于是圆心的坐标为；
因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，因此．所以圆的方程为．
15．设是等比数列，公比，为的前项和．记，，设为数列的最大项，则 ．
解】．设，则，，，
因为函数在时，取得最小值，所以在时取得最大值．此时，解得．即为数列的最大项，则．
16．设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．
解】．解法1．显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此．当时，函数在是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解得．于是实数的取值范围是．
解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此．，因为，，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值．解得．
于是实数的取值范围是．
解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是．
三．解答题：本大题共小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分分）在中，．
ⅰ）证明：．
ⅱ）若．求的值．
解】（ⅰ在中，由及正弦定理得，于是，即，因为，，则，因此，所以．
ⅱ）由和（ⅰ）得，所以，又由知，所以．
所以．18．（本小题满分分）有编号为的个零件，测量其直径（单位：），得到下面数据：
其中直径在区间内的零件为一等品．
ⅰ）从上述个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率．
ⅱ）从一等品零件中，随机抽取个．
ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
ⅱ)求这个零件直径相等的概率。
解】（ⅰ由所给的数据可知，一等品的零件共有个．
设“从个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则．
所以从个零件中，随机抽取一个零件为一等品的概率为．
ⅱ）(一等品零件的编号为．
从这个一等品零件种随机抽取个，所有可能的抽取结果有 ，，共种．
ⅱ) 记“从一等品零件中，随机抽取个直径相等”为事件，则事件的所有可能结果有，共种．
所以．因此从一等品零件中，随机抽取个直径相等的概率为．
19．（本小题满分分）如图，在五面体中，四边形是正方形，，，
ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦值；
ⅱ）证明：；
ⅲ）求二面角的正切值．
解】（ⅰ因为四边形是正方形，所以．
故为异面直线与所成的角．
因为，所以．故．
在中，，，所以．
因此．所以异面直线与所成的角的余弦值为．
ⅱ）过点作，交于，则，又，所以．从而．
又，且．所以．
ⅲ）由（ⅱ）及已知，可得，即为的中点．
取的中点，连接．则．
因为，所以．
过点作，交于．
则为二面角的平面角．
连接，可得．
所以，从而．由已知可得．
由，，可得．
在中，．所以二面角的正切值为．
20．（本小题满分分）已知函数，其中．
ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．
解】（ⅰ当时，，．
．所以曲线在点处的切线方程为，即．
ⅱ）．令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论：
1) 若，则．
当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立，等价于。
即解得，又因为，所以．
2) 若，则．
当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到．
因此在区间上，恒成立，等价于。
即解得或，又因为，所以．
综合(1),(2),的取值范围为。
21．（本小题满分分）
已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为．
ⅰ) 若，求直线的倾斜角；
ⅱ)点**段的垂直平分线上，且．求的值．
解】（ⅰ由得，再由得．
因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，所以，则，解方程组得．所以椭圆的方程．
ⅱ）(由（ⅰ）得。设点的坐标为，由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得，因为是方程的一个根，则由韦达定理有，所以，从而．，由，得，整理得 ，，所以．所以直线的倾斜角为或．
ⅱ)线段的中点为，则的坐标为．
下面分情况讨论：
1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．
于是，，由得．
2) 当时，线段的垂直平分线方程为．
令得由，整理得．．所以．综上，或．
22．（本小题满分分）在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为．
ⅰ）证明成等比数列；（ⅱ求数列的通项公式；
ⅲ）记．证明．
解】（ⅰ由题设可知，，，所以．因此成等比数列．
ⅱ）由题设可得，．所以。
．因为，所以．
从而由成等差数列，其公差为得．
所以，数列的通项公式为（或．
ⅲ）由（ⅱ）可知，．
下面对分为奇数和偶数讨论．
1) 当为偶数时，设．
若，则，满足；
若，则。所以，所以，．
2) 当为奇数时，设．
所以，所以，．
由(1)，(2)可知，对任意，．
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