第6讲游戏中的学问：
数学小博士：
同学们一定玩过许多游戏，像下棋、翻卡片、抢报30……其实，这里面蕴涵着许多数学问题。如“抢报30”的游戏，甲、乙两名同学轮流连续报数，谁先报到30这个数，谁就获胜。但是，有个规定：
每人每次最多报三个数，至少报一个数，每人报的每个数不得与自己报过的或对方报过的重复，也不得跳过任何一个数，要想取胜，就必须先抢到30，要抢到30，又必须先抢到26，因为如果先抢到26，对方就只能报27或报或报。如果对方报27，那么你就报，获胜；如果对方报，那么你就包，获胜；如果对方报，那么你就报30，获胜。
同样道理，要抢到26，就必须先抢到22，向前倒推，应依次抢到，要先抢到2，就必须先报），这样就一定能取胜了。这个游戏反映的就是数学中的对策问题。
快乐探索营：
1、有2008个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取五个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？
2、甲、乙两人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将获胜？怎样才能获胜？
3、有三行棋子，每行分别有1，2，4枚棋子。两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？
4、有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？
5、有两堆石子第一堆有27粒，第二堆有18粒，甲、乙两人轮流从其中的任意一堆拿走一粒或几粒（甚至把这堆石子一次拿光），但每次不准1粒不拿，也不准从这一堆拿几粒，从另一堆拿几粒，谁拿到最后一粒或几粒石子谁就获胜。取胜的策略是什么？
趣味链接：小数点的代价。
2024年8月23日，前苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故--减速速降落伞无法打开。前苏联**领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。
当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船两个小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们沉浸在巨大的悲痛之中。
在电视台上，观众看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象，他面带微笑地对母亲说："妈妈，您的图像我在这里看得清清楚楚，包括您的头上的每根白发，您能看清我吗？""能，能看清楚。
儿啊，妈妈一切都很好，你放心吧！"这时，科马洛夫的女儿也出现在电视屏幕上，她只有12岁。科马少夫说：
"女儿，你不要哭。""我不哭……"女儿已泣不成声，但她强忍悲痛说："爸爸，您是苏联英雄，我想告诉您，英雄的女儿会像英雄那样生活的！
"科马洛夫叮嘱女儿说："学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……"
时间一分一秒地过去，距离宇宙飞船坠毁只有7分钟了，科马洛夫向全国的电视观众挥挥手说："同胞们，请允许我在这茫茫的太空中与你们告别。"
这是一次惊心动魄的告别仪式。科马洛夫永远地走了，他留下了对亲人对祖国永恒的爱。但更震撼人心的是他对女儿说的那番话。
它警示着人们：对待人生不能有丝毫的马虎，否则，即使是一个细枝末节，也会让你付出深重的甚至是永远无法弥补的代价。
第7讲假设问题。
数学小博士：
假设法是解答应用题常用的一种思维方法。所谓“假设法”就是依据题目中的已知条件或结论做出某种设想，然后按照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。我国古代算术中的“鸡兔同笼”问题，通常就是用假设法来解决的。
例如：在一个笼子里有若干鸡和兔。从笼子上看有30个头，从笼子下数有70只脚。这个笼子里装有鸡和兔各有多少只？
思路点拨：假设笼子里全部是鸡，那么就有2×30＝60（只），这样就比实际少了70－60＝10（只）脚。因为把一只兔看成一只鸡，减少了（4－2）只脚，所以少了10只脚，就说明有10÷2＝5（只）兔。
友情提示：通常用假设法解决“鸡兔同笼”问题的基本数量关系式是：
兔数＝（实际脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）
鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）
快乐探索营：
1、电影院一天售出甲、乙两种电影票共1700张，共收款78000元。甲种票每张60元，乙种票每张40元。甲、乙两种电影票各售出多少张？
2、王师傅有2元、5元、10元的人民币118张，总计500元，其中5元与10元的张数相等，三种人民币各有多少张？
3、一辆汽车装运玻璃仪器360个，每个运费5元。若损坏一个仪器不但不给运费，还要赔50元。最后只收到1250元，问：损坏了几个仪器？
4、某张数学竞赛试卷共20道题，评分标准是：每做对一道题得5分，每做错或不做一题扣1分。李强参加了这次比赛，得了64分。李强做对了几道题？
5、鸡兔同笼，共有脚138只，鸡比兔多12只。鸡兔各有多少只？
趣味链接：你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。
大约在2024年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。
因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
第8讲容斥问题。
数学小博士：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质1和性质2分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。
例如：某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人数如下表，求全班一共有多少名学生？
这样想：根据题意，画出如下图示。
有多少名学生？要先求出只有一个科目达到优秀的学生人数。方法是运用容斥原理，只有一个科目达到优秀的学生人数=(数学达到优秀的人数+语文达到优秀的人数+英语达到优秀的人数)－(数学、语文达到优秀的人数+语文、英语达到优秀的人数+英语、数学达到优秀的人数)+数学、语文、英语都达到优秀的人数。
还有8人在这三个科目上都没有达到优秀，从图上可以看到，全班人数=只有一个项目达到优秀的人数+三个科目上都没有达到优秀的人数。
解：(20+16+16)－(4+4+5)+3+8
=50(名)
答：全班一共有50名学生。
快乐探索营：
1、四（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？
2、一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？
3、在一次数学测验中，所有同学都答了第。
一、二两题，其中答对第一题的有35人，答对第二题的有28人，这两道题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共多少人参加了这次数学测验？
4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？
5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？
趣味链接：数学家的墓志铭
一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志。
者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在主：“不要弄坏我的圆”。）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二。
德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献。甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑。
16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数后35位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上。 瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”。
这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语。
第9讲还原问题。
数学小博士：
一个数量经过若干次变化成了另一个结果，我们从结果出发，根据每一次变化情况，一步一步地倒着想，把结果还原成开始状态，这类问题叫做还原问题，又叫逆运算问题。
例如：有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又。
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？
思路点拨：我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。
友情提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助**倒推，既能理清数量关系，又便于验算。
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