题目 rsa算法的介绍与实现
学院电子工程学院
专业信息对抗(021131班）
学生姓名郝志婧 (02113098)
导师姓名胡建伟。
目录。一、产生背景1
二、rsa概述2
三、数论知识3
四、算法描述7
五、流程图8
六、编程**9
七、运行结果12
八、rsa的缺点12
rsa算法的介绍与实现。
一、产生背景。
2023年以前，所有的加密方法都是同一种模式：
1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。
由于加密和解密使用同样的规则（简称“密钥”），这被称为”对称加密算法“。这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。
因此，保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。
2023年，两位美国计算机学家whitfield diffie 和 martin hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为"diffie-hellman密钥交换算法"。这个算法启发了其他科学家。
人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。 这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"，是一种“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。
1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。（
3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。 如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。
rsa是在2023年，由美国麻省理工学院(mit)的rivest、shamir和adleman在题为《获得数字签名和公开钥密码系统的方法》的**中提出的。
rsa算法是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法，因此它为公用网络上信息的加密和鉴别提供了一种基本的方法。它通常是先生成一对rsa密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册，人们用公钥加密文件发送给个人，个人就可以用私钥解密接受。
这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长rsa密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。
因此可以认为，1024位的rsa密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。
公钥加密算法中使用最广的是rsa。rsa算法研制的最初理念与目标是努力使互联网安全可靠，旨在解决des算法秘密密钥的利用公开信道传输分发的难题。而实际结果不但很好地解决了这个难题；还可利用rsa来完成对电文的数字签名以抗对电文的否认与抵赖；同时还可以利用数字签名较容易地发现攻击者对电文的非法篡改，以保护数据信息的完整性。
此外，rsa加密系统还可应用于智能ic卡和网络安全产品。
1）互质关系。
如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。
关于互质关系，不难得到以下结论：
1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。
2）欧拉函数
请思考以下问题：
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是，所以 φ(n) =4。
(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况如果n=1，则 φ(1) =1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
第二种情况如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与都构成互质关系。
第三种情况如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)， 则。
比如 φ(8) =2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。 这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、..
p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。 上面的式子还可以写成下面的形式：
可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况如果n可以分解成两个互质的整数之积，n = p1 × p2 则
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ8×7)=φ8)×φ7)=4×6=24。 这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：
如果a与p1互质(a第五种情况因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
根据第4条的结论，得到。
再根据第3条的结论，得到。
也就等于。这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：
3)欧拉定理
欧拉函数的用处，在于欧拉定理。"欧拉定理"指的是： 如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：
也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。
欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。 欧拉定理可以大大简化某些运算。
比如，7和10互质，根据欧拉定理，已知 φ(10) 等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。 因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。
欧拉定理有一个特殊情况。 假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成
这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。
欧拉定理是rsa算法的核心。理解了这个定理，就可以理解rsa。
4)模反元素
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
这时，b就叫做a的"模反元素"。
比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 ，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。 欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。
可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。
1.确定密钥的宽度。
2.随机选择两个不同的素数p与q,它们的宽度是密钥宽度的1/2
3.计算出p和q的乘积n
4.在2和φ(n)之间随机选择一个数e , e 必须和φ(n)互素，整数e用做加密密钥（其中φ(n)=(p-1)*(q-1)
5.从公式ed ≡ 1 mod φ(n)中求出解密密钥d
6.得公钥（e ，n ）,私钥(d , n)
7.公开公钥，但不公开私钥。
8.将明文p (假设p是一个小于n的整数)加密为密文c，计算方法为：c = mod n
9.将密文c解密为明文p，计算方法为：p = mod n
然而只根据n和e（不是p和q）要计算出d是不可能的。因此，任何人都可对明文进行加密，但只有授权用户（知道d）才可对密文解密。
1、密钥产生模块：
2、解加密流程模块：
#include
using namespace std;
int main()
int p,q,n;
int i,d,e,pt,ct;
cout<<"rsa加密算法***cout<<"输入两个素数p和q:";
cin>>p;
cin>>q;
n=(p-1)*(q-1);
for(i=2;i
cout<<"n输入一个数，该数不等于上面的任何一个数！"
i=1;while(i>0)i++;
cout<<"输入需要加密的明文！"
int j=pt;
for(i=1;i
cout<<"n加密后的密文是：";
ct=pt%(p*q);
cout< cout<<"n***rsa解密算！**n";
cout<<"接收的密文是 " 第 卷第 期河北理工学院学报。年 月。文章编号一 计算机网络安全与保密。关启明。河北理 学院教务处，河北唐山 关键词 计算机网络 安全 保密。摘要 企事业单位计算机网络安全是国家计算机网络安全的基石，涉。及的范围非常广。讨论了在企事业单位的计算机网络，包括提供公共。服务的 网络 校园网 企业内部网的... 作者 胡光睿。电脑知识与技术 2008年第36期。摘要 该文论述了文化对人的网络信息行为的影响，介绍了网络安全文化的产生背景和构成。并对网络安全文化的内涵及作用机制进行了研究。关键词 网络文化 网络安全 网络安全文化。中图分类号 tp3 文献标识码 a 文章编号 1009 3044 2008 36 ... 组长 许文刚。组员 钟亮 叶佳骋。1 word的加密与解密 加密方法1 利用word自身带有的安全性加密 当你处理好一篇word文字稿件时，接下来就是要保存了。当保存后你又不想让别人随便打开阅读 修改等没经你同意的各种操作，应该怎么办呢？我们可以利用word自身带有的安全性加密。操作如下 工具 选项...计算机网络安全与保密
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