陡沟中学高三数学2023年春节作业一。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．设集合，，则。
2．若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则。
3．直线经过点，且与直线垂直，则的方程是。
4．命题“，”的否定是。
5．函数在上的单调递减区间为。
6．已知平面向量，，则与夹角的余弦值。
为。7. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使。
卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率。
是用分数表示）
8．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组依次记为，则程序运行结束时输出的。
最后一个数组为。
9．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为。类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为。
10．已知是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：
若，则； ②若，则；
若，则；④ 若，则．
其中真命题的序号有请将真命题的序号都填上）
11．若函数在上的值域为，则。
12．将正偶数排列如右表，其中第行第个数表示为，例如，若，则。
13．若椭圆上存在一点m，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为。
14．锐角的三边和面积满足条件，又角c既不是的最大角也不是的最小角，则实数的取值范围是。
二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
15．(本小题满分14分)
已知角是的内角，向量，⊥.
ⅰ）求角a的大小；
ⅱ）求函数的值域。
16．(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱中，为的中点。
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求证：平面⊥平面。
17．(本小题满分14分)
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足。
ⅰ）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；
ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.
18．(本小题满分16分)
已知⊙和点。
ⅰ）过点向⊙引切线，求直线的方程；
ⅱ）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为 4的⊙的方程；
ⅲ）设为（ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为q. 试**：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由。
19．(本小题满分16分)
已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列．
ⅰ）若数列的前项和为，且， ,求整数的值；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
ⅲ）若（其中，且（）是（）的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项。
20．(本小题满分16分)
已知函数。ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；
ⅱ）若函数有三个零点，求的值；
ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围。
陡沟中学2023年春节作业一。
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
二、 解答题：本大题共6小题，计90分。
15. 解：（ⅰ因为，且⊥，所以·=…4分。
则，又a，所以7分。
（ⅱ）因为。
11分。而，所以，则，所以。
故所求函数的值域为14分。
16. 证明：（ⅰ设，连结。
由于点是的中点，又为的中点，所以5分。
而平面， 平面，所以∥平面7分。
（ⅱ）因为，所以是正方形，则，又，且平面，，所以平面……12分。
而平面，所以平面⊥平面14分。
17．解：（ⅰ由题意得5分。
（ⅱ）因为7分。
当时， 当且仅当，即时取等号10分。
当时，，可证在上单调递减，所以当时，取最小值为13分。
由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元14分。
18. 解：（ⅰ设切线方程为，易得，解得……3分。
∴切线方程为5分。
ⅱ）圆心到直线的距离为7分。
设圆的半径为，则9分。
⊙的方程为10分。
ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，根据题意可得12分。
即 （*又点在圆上∴，即，代入（*）式得：
14分。若系数对应相等，则等式恒成立，∴，解得，可以找到这样的定点，使得为定值。 如点的坐标为时，比值为；
点的坐标为时，比值为16分。
19．解：（ⅰ由题意知，，所以由，得……3分。
解得，又为整数，所以5分。
ⅱ）假设数列中存在一项，满足，因为，∴（8分。
又，所以，此与（*）式矛盾。 所以，这要的项不存在……11分。
ⅲ）由，得，则………12分。
又，从而，因为，所以，又，故。 又，且（）是（）的约数，所以是整数，且………14分。
对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），有。
由于是正整数，所以一定是数列的项………16分。
20. 解3分。
由于，故当时，，所以，故函数在上单调递增5分。
ⅱ）当时，因为，且在r上单调递增，故有唯一解7分。
所以的变化情况如下表所示：
又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得11分。
ⅲ）因为存在，使得，所以当时，……12分。
由（ⅱ）知，在上递减，在上递增，所以当时，而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增，而，所以当时，；当时，也就是当时，；当时14分。
①当时，由，②当时，由，综上知，所求的取值范围为16分。
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