数学建模竞赛题目

一次性纸杯是生活中常见的容器之一，现有一个一次性纸杯如图，可量得纸杯的高度为95mm，杯底面直径为50mm，杯口直径为75mm，现假定纸杯材料厚度忽略不计。

1、若给纸杯注水，则纸杯内可盛水最大体积是多少升？

2、此时将纸杯倾斜如下图所示，设倾斜角度为，求此时杯中最多可盛。

水多少升？

3、若忽略水杯的杯口与杯底直径之差，即将水杯看成圆柱体，杯的高度为95mm，杯底面直径为50mm，忽略水杯材料厚度，将水杯倾斜，设倾斜角度，试给出在水不溢出的情况下水面最高点与最低点的高度与杯中水的体积的函数关系式。

假定一个底面半径为r，高度为h的圆锥形雪堆，其融化时体积的变化率正比于雪堆的锥面面积，比例常数为k>0(k与环境的相对湿度、阳光、空气温度等因素有关)，且在融化时假定底面半径保持不变，已知一个小时内融化了其体积的四分之一。

1、给出高度和时间的函数关系式；

2、设圆锥雪堆的底面半径r为0.5m,高度h为1m时，还需多长时间雪堆可全部融化。

观察现在校园内的垃圾箱的布局

1、详细绘制校园内路径图（简化，并测量或者估计距离），如果想使得任何人手提垃圾袋的距离不超过50米，应该在那些地方放置垃圾箱。如何布局才能使得垃圾箱数目最少？

2、如果在每条主干道之间布置的垃圾箱不能超过两个（两头各安置一个），那么又应该如何布局垃圾箱，使得行人手提垃圾袋的距离最小？